圆周率新议
作者:2009hongmin@163.com       2009/1/27
    瓦亭镇明德小学 李红民 2008年3月

    关于对圆周率的研究,已有两千多年了。约两千多年前,我国古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”之说。约1500年前,我国伟大的数学家祖冲之在世界上第一个把圆周率精确到小数点后面第6位,大约在3.1415926和3.1415927之间。还采用了两个分数值表示,一个是“22/7”,称之为“约率”,另一个是“355/113”,称之为“密率”。现在人们利用计算机已能计算到小数点后面的上亿位。目前小学数学教科书中对圆周率下的结论是“圆周率是一个固定的数,是一个无限不循环小数”。

    这个结论我认为并不完全正确。我认为“圆周率是一个固定的数,但不是一个无限不循环小数。而是一个固定的有限小数。”为什么这么说呢?

    一.所采用的推算方法不可能得到圆周率的准确值,只能得到一个非常接近于准确值的近似值。

    最初,古人用线测或滚动的方法来推算圆周率,这两种方法具有很大的局限性,且容易出现人为性的误差。如线的松紧、圆周的光滑程度、滚动时的错位等都会造成误差。即使同一个圆,测量几次也会得到不同的结果,只能得到圆周的近似长度,只能得出“圆的周长总是直径的3倍多一些”这个结论。

    后来古人采用的推算方法是割圆术,即在圆内做正n边形和在圆外做正n边形。用在圆内做正n边形的方法求出的圆周率是3.1
415926,古人称该数为“朒 数”,即祖冲之所命名的“约率”。 从圆的内接正六边形算起,逐次加倍边数,一直算到内接正24576边形时,它的各边长度总和只能逐次接近并较小于圆周的周长,由此求出的圆周率为3.14159261,也只能小于圆周率的真实数值。用在圆外做正n边形的方法求出的圆周率是3.1415927,古人称该数为“盈 数”,即祖冲之所命名的“密率”。由于外切正多边形各边边长的总和永远大于圆周的长度,所以这个数总比真实的圆周率大。由此不难看出采用割圆术,不能得到圆周的准确长度,只能得到一个非常接近于圆周准确值的近似值,因此也只能得到一个非常接近于圆周率准确值的近似值。

    如今利用计算机来计算圆周率,只是采用了先进的计算工具,提高了计算速度,而推算方法没有变,所得的结果仍然是圆周率的近似值,只不过更为精确罢了,可以在实践中应用,但并不能因此而说圆周率是一个无限不循环小数。

    二.原结论与以下数学知识相矛盾。

    1.任何有理数数都能被2除尽。圆是一种平面曲线图形。一个圆的圆周是一条封闭性的曲线,那么圆周的长度应是有限的数。圆周率是圆的周长与直径的比的比值,也就是圆的周长除以直径的商。当圆的直径为2时,圆周率应是一个有限小数。

    2.任意一个分数的分数值,要么是有限小数,要么是一个无限循环小数。即使当圆的直径不为2,是3、7、11……时,圆周率作为周长与直径的分数值,要么是有限小数,要么是一个无限循环小数,绝不会是一个无限不循环小数。

    由此也可以断定“圆周率是一个无限不循环小数”的说法是错误的,而应是一个无限循环小数或有限小数。

    三.原结论违背了“事物的偶然性与必然性相统一”这一哲学原理。

    从哲学角度上讲,事物的偶然性与必然性是相统一的。必然性必然包含偶然性,必然性通过大量的偶然性表现出来,没有脱离偶然性的纯粹必然性;偶然性必然体现必然性,没有脱离必然性的纯粹必然性。“圆周率是一个无限不循环小数”这一结论,没有将“当圆的直径为2时,圆周率应是一个有限小数”和“当圆的直径为3、7、11……时,圆周率作为周长与直径的分数值,要么是有限小数,要么是一个无限循环小数”这两种情况包含进去,也就是说必然性脱离了偶然性;“当圆的直径为2时,圆周率应是一个有限小数”和“当圆的直径为3、7、11……时,圆周率作为周长与直径的分数值,要么是有限小数,要么是一个无限循环小数”这两种情况不能体现“圆周率是一个无限不循环小数”这一结论,也就是说偶然性脱离了必然性而独立存在。

    总之,以上三点充分证明了“圆周率是一个无限不循环小数”的说法是错误的,而应是“一个无限循环小数或有限小数”。

    那么“圆周率究竟是一个无限循环小数还是一个有限小数”呢?从哲学角度上讲,根据“事物的偶然性与必然性是相统一的”这一原理,圆周率应是一个有限小数。当圆的直径为3、7、11……时,它的周长实际也能被它正好除尽,只是我们目前无法测量出圆周的长度。

    那么,“圆周率这个固定的数”究竟是多少呢?那就需要我们重新来推算。采用什么方法来推算呢?仍用割圆术是不行的,需要换个角度,另辟蹊径。如先在装有水的长方体容器内浸没一个圆柱体,算出它的体积。再用它的体积除以它的高,得出它的底面积。再用它的底面积除以它的半径的平方数,即可得到圆周率。(长方体容器、圆柱体必须精密,高必须测量准确)或许后人会有更好的方法。若计算出圆周率的准确值,必将给相关科技领域带来重大突破。因此,我们应重新给圆周率下结论:圆周率是一个固定的数,是一个有限小数。使后人明白圆周率目前是采用割圆术得到的一个近似值,它的准确值需要我们继续去研究。