求解动力系统响应的单步时间直接积分算法综述
作者:huipingshao@163.com       2010/11/17
    邵慧萍

    南京理工大学机械工程学院,南京,南京孝陵卫200号,210094

    摘要:单步时间直接积分算法用于求解线性和非线性动力系统响应。为了更好的了解和使用这些算法,本文简述了单步时间直接积分算法的发展现状,讨论了若干重要的单步时间直接积分算法的精度,简单介绍了求解动力系统过去响应历程的单步时间积分算法STi系列及其误差理论,给出了以上算法如何编成标准程序投入实用的指引性说明及其这些相关软件的应用现状。

    关键词:动力系统,响应,单步时间直接积分算法,误差理论,负阻尼,反时间,程序

    一、单步时间积分算法发展现状

    线性动力系统方程可写为:

    (1)

    其中M是质量矩阵,C是阻尼矩阵,K是刚度矩阵,x是位移列阵,f(t)是载荷列阵。

    求解线性和非线性动力系统响应比较重要的单步时间直接积分算法主要有:Newmark于1959年提出的Newmark算法[1],1968年Wilson提出的Wilson-θ算法[2], 1977年Hilber, H. M., Hughes, T. J. R., and Taylor, R. L.等
三人提出的HHT-α算法[3],HHT-α算法没有考虑算法阻尼、也没有处理载荷项,其实是个没有什么实际使用价值的算法,1978年W.L. Wood, M. Bossak, and O.C. Zienkiewic等三人提出的WBZ算法[4]。 1988年本人(邵慧萍)和蔡承文发表论文[5-7],事实上从线性动力方程最一般的线性插值推导起[8],提出了单步时间直接积分六参数算法的最一般形式:

    (2)

    并提出了六个算法方案,这六个算法方案的参数必须要满足: ,其中三个算法比较有名,称为直接积分优化-ρ算法[8]、改进的HHT 算法和Bossak 算法,他们的参数用 时的谱半径ρ统一表示。 其中改进的HHT算法和HHT-α算法没有任何联系,Bossak 算法的参数是用谱半径ρ统一表示,WBZ算法[4]用 统一表示,从本质上讲,Bossak 算法和WBZ算法是一样的。以上这三个算法现在统一更名为SC3-ρ算法、SC1-ρ算法和WBZSC2-ρ算法[9]。

    1993年Chung 和Hulbert 在著名的JAM杂志(美国应用力学杂志)上发表了论文[10],全面复制了邵、蔡1988年发表的以上三个算法,并错误的把改进的HHT算法(即SC1-ρ算法)和没有什么实用意义的HHT-α算法混为一谈。这篇论文很有名,光对它的引用就有447篇(见http://scholar.google.cn)。

    最近,本人进一步从我和蔡于1988年发表的论文中的学术思想即根据线性动力方程最一般的线性插值形式提出的单步时间直接积分算法的最一般形式六参数算法(公式(2))研究起,归纳和新提出了单步时间直接积分算法共14个,他们分别是:SC0算法,SCi-ρ算法(i=1,3,4,5),WBZSC2-ρ算法和SHPj(j=6,7,...,13),并将它们推广应用于负阻尼动力系统,还提出了算法用于动力系统是正、零或负阻尼情况时的误差理论,给出了这些算法的理论位移、速度和加速度误差公式和计算理论位移、速度和加速度误差系数的程序[11,12,13]。

    二、单步时间直接积分算法的精度分析

    我在文[9,11,12]中研究了本人和蔡1988年提出的算法模型公式(2),提出了算法位移、速度和加速度误差理论,根据位移误差理论对以上的算法进行精度分析得出:当且仅当参数 时算法位移才具有一阶或以上精度,这时算法有四个参数。Newmark算法是四参数算法的特例: ,算法有一阶精度,Wilson-θ算法和HHT-α算法位移达不到一阶精度,WBZ算法具有一阶精度,我和蔡提出的算法都具有一阶或二阶精度,我们俩提出的具有一阶精度的算法方案对动力系统正阻尼情况是无条件稳定的,对负阻尼情况是有条件稳定的,具有二阶精度的算法方案都是有条件稳定的。加速度算法和中心差分算法是Newmark算法的特例,属于有条件稳定算法,加速度算法具有二阶精度,中心差分算法具有一阶精度。如对SC1- 算法、WBZSC2- 算法和SC3- 算法取 ,该算法与梯形法则等价。

    三、求解动力系统过去响应历程(反时间 )单步时间直接积分算法STi系列及其误差理论简介

    在文[14,15]本人研制了求解线性和非线性动力系统过去响应历程(反时间 )的单步时间直接积分算法STi系列共14个,算法不仅可以应用到动力系统正阻尼情况还可以应用到负阻尼情况,并提出了完整的误差理论,应用这个理论可以计算算法的理论位移、速度和加速度误差。邵本人研制的求解动力系统响应(正时间 )的单步时间直接积分算法系列误差理论和求解动力系统过去响应历程(反时间 )的单步时间直接积分算法系列的误差理论均已被分别编成程序,编成的程序可以计算这些直接积分四参数算法中的任何一个在 谱半径ρ任何范围、任何Ω范围和任何模态阻尼ξ范围,任何时间步长h情况下理论上的位移、速度和加速度误差系数[13,16]。

    四、如何应用以上这些算法的指引性说明及其这些相关软件的应用现状

    以上这些单步时间直接积分算法数学形式相似,所以它很容易编成统一程序植入动力分析标准程序中而不须改变程序的结构[9]。求解动力系统响应(正时间 )的单步时间直接积分算法系列程序和求解动力系统过去响应历程(反时间 )的单步时间直接积分算法系列程序是不同的,需要分别编制。所得程序可以尝试植入各种自编程序和诸如MSC、ADAMS、ANSYS 、ABAQUS和SAP等大型动力分析商用软件中。这些软件的应用将为航空航天、核工业、铁路运输业、石油化工业、机械制造业、能源、汽车、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿和水利等各个领域中产品设计、科学研究做出很大的贡献,以上这些成果也可能对社会科学做出贡献。"求解动力系统过去响应历程的单步时间积分算法"系列研究也可能引领对反时间( )这个时间概念方面的科学理论和工程应用研究新潮流。进而促进科技进步,为世界创造财富,推动和谐社会发展,造福社会。其中邵和蔡的SC1-ρ算法(所谓的HHT-α算法)已得到全世界范围的应用[17,18]。以上这些实用算法均可以应用到非线性动力系统和随机过程中去。

    以上这些研究成果除了以下的主要参考文献反映出来的以外,还可以在中国版权保护中心网站查到:(点击 http://www.ccopyright.com.cn,分别点击计算机软件著作权登记公告和作品著作权登记公告,在著作权人一栏输入邵慧萍点击查询,即可找到)。

    主要参考文献

    [1] Newmark N M. A method of computation for structure dynamics [J].Journal of the EngineeringMechanics, 1959,Division ASCE,85(EM3):67-94.

    [2] Wilson E L.A computer program for the dynamic stress analysis of underground structures[R].Berkeley:University of California, 1968.SESM Report No.68-1.

    [3] Hilber, H. M" Hughes, T. J. R., and Taylor, R. L., "Improved Numerical Dissipation for Time Integration Algorithms in Structural Dynamics,"Earthquake Engineering and Structural Dynamics [J],1977, Vol. 5, pp. 283-292.

    [4]W.L. Wood, M. Bossak, and O.C. Zienkiewic, An Alpha Modification of Newmark's Method[J] , International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1980 vol. 15,. 1562-1566

    [5] 邵慧萍.求解结构动力响应的直接积分方法研究[D].硕士学位论文,杭州:浙江大学力学系, 1987.

    [6] Shao Hui-ping,Cai Ceng-wen. The Direct Integration Three-Parameters Optimal Schemes For Structure Dynamics [A], IC Machine Dynamics And Engineer Application 1988[C].China Xi'an:Xi'an Jiao Tong University Press,1988.

    [7]邵慧萍,蔡承文.结构动力学方程数值积分的三参数算法[J].应用力学学报,1988,5(4): 76-81.

    [8]邵慧萍,求解动力系统响应高精度的改进模态叠加算法[J].南京理工大学学报,2007,31(6)706-709。

    [9] 邵慧萍,可植于动力分析程序的单步直接积分SC1-ρ算法等三个算法程序[P],中国,中国版权保护中心,登记号:2009-A-022857,登记日期:2009-12-08

    [10]Chung J ,Hulbert G M .A Time Integration Algorithm for Structural Dynamics with Improved Numerical Dissipation: The generalized-α method[J].Journal of Applied Mechanics, 1993,.60:371-375.

    [11] 邵慧萍,若干组用于求解结构动力系统响应的单步直接积分算法[P], 中国,中国版权保护中心,登记号:2010-A-023391,登记日期:2010-03-04

    [12] 邵慧萍,求解动力系统响应的单步时间积分算法误差分析[P],中国,中国版权保护中心,登记号:2010-A-027987,登记日期:2010-04-13.

    [13] 邵慧萍,计算求解动力系统响应的单步时间直接积分算法理论误差系数程序[P], 中国,中国版权保护中心,登记号:2010SR031959,登记日期:2010-06-30.

    [14] 邵慧萍,若干组用于推演结构动力系统过去的响应历程的单步直接积分算法[P], 中国,中国版权保护中心,登记号:2009-A-020788, 登记日期:2009-09-09

    [15] 邵慧萍,求解动力系统过去响应历程的单步时间积分算法误差分析[P], 中国,中国版权保护中心,登记号:2010-A-027988,登记日期:2010-04-13.

    [16]邵慧萍,计算求解动力系统过去响应历程的单步时间直接积分算法理论误差系数程序[P], 中国,中国版权保护中心,登记号:2010SR032022,登记日期:2010-07-01.

    [17].A.Leontiev,2007,Extension of LMS formulations for L-stable optimal integration methods with U0-V0 overshoot properties in structural dynamics:The level-symmetric (LS) integration methods[J],Int.J.Numer.Meth.Engng. 2007,71:1598-1632

    [18]张文元,费红姿,连尉安,丁玉坤."ABAQUS动力学有限元分析指南"[M],香港, 中国图书出版社2005.

    作者简介:邵慧萍,女,1962年10月生,讲师,主要研制用于求解动力系统响应的单步时间直接积分算法和改进的模态叠加算法。