每个不小于6的偶数都可表示为两个奇素数之和
--对哥德巴赫猜想(1+1)的证明
分析与解证:若用n表示任意偶数,则表示n的两个数之和数组等于 ,表示n的两个奇数(或偶数)之和数组等于 × = 。在连续的数中奇数和偶数依次相差1,当 为偶数时,两个偶数之和数组与两个奇数之和数组相等, 的商为整数。当 为奇数时,因 以内奇数比偶数多1,所以这时两个奇数之和数组比两个偶数之和数组多1,即 的商有0.5,所以在计算两个奇数之和数组时这个0.5等于1组。
因素数除2以外都是奇数,即两个奇素数数组一定包含在两个奇数之和数组里。 在这里特指两个奇数之和数组。
因n以内的奇合数都是< 的某奇素数的倍数。所以设< 的各奇素数倍数的数在 中所占的数组为m;< 的各奇素数本身不与合数相加组合的数组为a,则a≥0;在 中有1的1组为“1”,当1与奇合数组合时,因这一数组已包括在m里,这时“1”=0,否则“1”=1。即0≤“1” ≤1。
两个奇数之和数组的分类如下:
奇合数+奇合数
两个奇数之和数组 奇合数+奇素数
奇素数+奇素
数 →c
奇合数或奇素数+1 →“1”
若设两个奇素数之和数组为c,则:
c= -(m-a)-“1”= -m+a-“1”
从式中可以看出,若 -m+a≥1.5,n≥6,c≥1,则此命题成立,否则此命题不成立。为了证明这个问题,我们看随着n的变化, -m将怎样变化。
因为连续的奇数每3个有1个是3的倍数(如:1、3、5,7、9、11、13、15、17,……)
每5个有1个是5的倍数(如:1、3、5、7、9,11、13、15、17、19,21、23、25、27、29,……),每7个有1个是7的倍数,每11个有1个是11的倍数,……,所以在 中每3个数组有两个数是3的倍数(如: =3时;1+11、3+9、5+7; =6时,1+23、3+21、5+19,7+17、9+15、11+13。)每5组有2个数是5的倍数,每7组有两个数是7的倍数,每11组有2个数是11的倍数……。这些素数倍数的数除各素数本身外,都是合数--奇合数。
这些奇素数倍数的奇合数,在组成 数组时,若n为3的倍数,则n依次减去3~ 间所有3的倍数的数时,所得差均为3的倍数,即3的倍数与3的倍数的数相加组合,其3的倍数的奇合数所占数组等于3的倍数的数× 。当n分别是< 的其它素数的倍数时,其各素数倍数的数也都两两相加组合,即此时,在 中,3、5、7、11、13等各自倍数所占的比例分别为 、 、 、 , ,即分别为每3、5、7、11、13组各占1组。因1- = 、1- = ,1- = ,1- = ,1- = ……所以当n分别为3、5、7、11、13等素数的倍数时,从 中依次减去3、5、7、……等倍数的数所占的数组即 -m分别等于:(取值一律四舍五入)
× (减去3的倍数32<n<52)、 × × (再减去5的倍数52<n<72)、 × × × (再减去7的倍数72<n<112)、……
当n不为< 的任何奇素数的倍数时,< 的各奇素数倍数的数中,同一素数倍数的数每个数占1组。比如n不是3的倍数,则n依次减去3~ 间所有3的倍数的数时,所得差均不是3的倍数,即3的倍数与3的倍数的数不能相加组合。即n不是< 的任何奇素数的倍数时,3、5、7、11、13等各素数倍数的数在 中所占的比例分别为: 、 、 、 、 、此时 -m分别为:
n的范围:n< 32、32<n<52、52<n<72、72<n<112、……
-m: 、 × 、 × × 、 × × × 、……
比如当52<n<72时,奇合数为3或5的倍数,这时 -m分别有: × × (n不为3和5的倍数), × × (n为5的倍数)、 × × (n为3的倍数), × × (n同时为3和5的倍数)。
从上述 -m的关系中可以看出,当n一定时,m越大, -m越小;当m一定时,n越小,则 -m越小。所以当n的范围分别为:n< 32、32<n<52、52<n<72、72<n<112、112<n<132、……时,n分别等于12+1、32+1、52+1、72+1、112+1、……且n不为< 的任何奇素数的倍数时, -m在n所在的范围最小。以下以此为例。
假设n在上述各自范围内 -m最小时均等于1,< 的除1以外的奇数均为奇素数,这时n的最低值应分别是:
n实际值假设 -m等于1假设后n最低值
12+1=2 =1(m=0)2
32+1=10 × =110
52+1=26 × × =118
72+1=50 × × × =126
92+1=82 × × × × =134
112+1=122 × × × × × =142
………………
符合上述条件, -m均等于1,则n的增加幅度均等于8,即m每依次增加一个奇数,n均需增加8。
然而n的实际增幅是:(32+1)-(12+1)=32-12=8
(52+1)-(32+1)=52-32=16
(72+1)-(52+1)=72-52=24
(92+1)-(72+1)=92-72=32
(112+1)-(92+1)=112-92=40
………………
即n实际增幅是按等于相邻两个奇数平方的差依次递增8(依次增加8、16、24、32、40、……)。即 -m随着< 的奇数的增加而增大。
又因为奇素数不都是连续的奇数,且 × × < × 、 × × < × 、……
所以n为下述各值时 -m的变化有:
n值:12+1、32+1、52+1、72+1、112+1、……
-m的变化为 = × < × × < × × × < × × × × <……
-m的上述变化表明,当n=12+1和n=32+1时, -m相等;
当n>32+1时, -m最小值逐渐增大。
当n<32时,奇合数为零,即m=0、a=0、“1”=1,所以c= -1。若≥6, ≥1.5,则c≥1。
当32<n<52时,奇合数皆为3的倍数,若n为3的倍数,则c= × +a-“1”= × -1,即3一定与合数组合,a=0,1一定不与合数组合,“1”=1。若n不是3的倍数时,c= × +a-“1”= × +1-“1”,即3一定不与合数组合,a=1。因为32<n<52时 ≥3,所以此时c≥1。所以n≥6时,C均不为零。
根据c= -m+a-“1”当52<n<72时,2≤c≤5;当72<n<112时,2≤c≤12;当n=112+1,n已接近 -m=1时的3倍,且a≥0、“1” ≤1,所以根据前证从 =1.5,n=6开始的任意偶数,c≥1。即n≥6,c≥1。
即:每个不小于6的偶数都可表示为两个奇素数之和的命题成立。
王敬芳 王大庆 邮箱:wjf7127870@sohu.com
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