论三元数的客观存在---评M。Kelvin著《古今数学思想》关于三元数的观念--
于涤尘
内容摘要：本文对统治数学界150年之久的"三元数不存在论" 提出质疑，论证了三元数的客观存在性；简要地介绍了作者在三元超复数域上的工作成果，即在超复数域上建立了一门《超变函数论》及它对物理学的重大贡献。
作者在这里提出数学上的空间理论发展的两条道路，即自然轨道和人为约定的公理化轨道。指出"三元数不存在论" 实际上将第一条轨道截断了，这是十分有害的"理论"。
Abstract: In this article, the author: questions the "viewpoint of non-existence of ternary number" that has been prevailed in the mathematics world for about 150 year; justifies the objective existence of ternary number; gives brief introduction to his research achievements in ternary supercomplex number field, i.e. the fulfillment of Discussion on Theory of Super-v
ariable Functions and its significant contribution to physics.
The author proposes two paths for the development mathematic space theory, including the natural orbit and the axiomatized orbit. In fact, the "viewpoint of non-existence of ternary number", which cuts off the natural orbit, can be said a harmful "theory".
关键词：三元数，四元数，第四运算，空数，超变函数论，副沖量度，屋式网格。
到底什么是数学？数学的意义是什么？这似乎是很平常的问题，但却关系数学的发展方向！
数学界有一种说法：数学不过是群的此种或彼种形式而已。此言有失偏颇！
数学是从量的方面去揭示客观物质世界的诸现象的相互联系、相互作用的科学。
客观事物的量的表达依靠'数'。长度、重量等用一个数（一元数）即可表示，平面力等则需两个数（二元数）才能表示，三维空间的力等得用三个数（三元数）去说明。至于刚体的位置更需要六个数去表示，这就需要六元数…，这就涉及数的概念的不断扩充，即整数、分数、无理数、实数、复数等等；而数学上的运算 (我不指那些人为约定的运算)则是客观亊物相互联系、相互作用的反映。从这一根本问题上应该得出一个明确的认识，即数学的中心问题是运算类的不断拓广及数域的不断扩充。如果有了这个认识，那么人们就不会固守在目前的三大运算(加减、乘除、乘方和开方)上，而会去作第四运算、第五运算.....；人们亦不会 被困于复数域内，而会去寻求三元数、四元数(绝不会是哈宻顿给出的那样的四元数)......。这就是数学发展的大方向！因此我们可以说，数学的中心课题就是运算类的不断扩充及相应地由每一类运算的逆运算引起的数域的不断地拓广。
一部数学史，实质上就是数的发展史。随着数的概念的拓广，构建在每一数域上的函数理论，都推动着数学的不断进步，从而为物理学的发展提供新的理论源泉
但是，19世纪中期西欧数学界否定了三元数的存在。从而，数学面对三维向量场（无论是宏观的还是微观的）就难于提供其必需的数学工具，显得那样地软弱无力。我们必须严正地指出，'三元数不存在'论，严重地阻碍着数学的发展，也使物理学失去必需的数学工具。
一'三元数不存在'论是错误的。
1.错误是如何产生的？
在19世纪初，人们已经很明确拓广复数域到更广义数域（超复数域）的必要性。这个时期的代表人物是英国的哈宻顿（Hamilton）。但是，从一开始哈宻顿就走错了方向。
他通过"约定"的方法，给出了复数的纯算术基础：当实数 , 则说实数对 ; ；当约定 ，则可得出 及 。
当记 ，那么 且 。
当时的人们企图沿哈宻顿之路，由三个实数的数组、四个实数的数组等等去建立超复数域，而且要求这类超复数的运算要满足作为一个数域的10个条件：
1、对于任意两个数，它们的和是唯一确定的。
2、对于任意两个数，它们的积是唯一确定的。
3、存在一个数零它具有性质：对于任意a，均有a+0=a。
4、对于每一个数a，均存在负数x，适合等式a+x=0。
5、加法适合交换律：a+b=b+a。
6、加法适合结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。
7、乘法适合交换律：a·b=b·a。
8、乘法适合结合律：(a·b)·c=a·(b·c)。
9、乘法对加法适合分配律：a（b+c）=ab+ac。
10、对于每一a以及每一b≠0，存在唯一的数x，满足等式bx=a。
但是，努力的结果发现仅对阶数2（所论数组仅仅是数对）的超复数，这个问题才是可能的，而且得出的仅是通常的复数。在1861年德囯数学家魏尔斯脫拉斯(Weierstrass)证明了一个代数系"如果服从乘积定律和乘法交换律，就是实数的代数和复数的代数"（此语引自《古今数学思想》），也就是说，只能是一元数和二元数，不会是三元数。这是三元数不存在论的始祖理论。假若人们承认这个命题的话就必然要承认其'逆否命题'："一个代数系统若不是实数的代数也不是复数的代数，那么这个代数系统就不服从乘积定律或不服从乘法交换律"，因为这两个命题是等价的。为什么面对上述两等价命题，数学界相信了魏尔斯脫拉斯的"理论"呢？原因是数学界已将上面所列的作为一个数域的10个条件神聖化了！
哈宻顿的伟大之处在于他勇敢地放弃了作为数域10个条件中的"乘法适合交换律"，从而发明了四元数。尽管其生命力很有限，但是，这项发明对代数学具有不可估量的重要性，它使数学家开阔了眼界，使人们明确了为构造一个有意义的、有用的新数城必须放弃实数和复数运算所遵循的10条件中的某一条或某几条。因而可以说，你若认为任何数域必需服从乘积定律和乘法交涣律，那么你就举手赞同'三元数不存在'。实际上，'三元数不存在论'之所以能統治数学界达150年左右其原因就在于此；由与魏氏定理等价的命题看，我们所给出的三元超复数不是实数的代数也不是复数的代数，这个数域就不服从乘积定律，即两个超复数之积不唯一。这实际上是给出了与魏氏命题的等价命题， 如果你承认不是所有数域都要服从乘积定律，那么你就会承认三元数是存在的。如此说来，当我们发现三元数不滿足乘积唯一性之后，魏尔斯脫拉斯关于三元数不存在的命题就应得到纠正！
客观上存在着实在的三维空间，那么为什么三元数竟然不存在呢？既然二维向量对应着一个复数，为什么三维向量就沒有一个什么数与之对应呢？我们应该相信客观实在！我们自然会产生下面的思考：既然哈宻顿未能用三个实数的数组给出三元数的纯算朮基础，因而我们有理由怀疑哈宻顿之路本身就走错了方向。也就是说，给出复数的纯算术基础，只能说是一个牵强附会之举；另一方面，哈宻顿发明四元数时的伟大创举使我们有理由怀疑作为域的10个条件的普适性，盖因这10个性质是在一元数及二元数域中归纳出的，它只能适用于一、二维空间的数，这才合乎逻辑。
至此，我们应该如何去扩充数域的问题已变得清晰了：放弃哈宻顿之路去另辟新径；哈宻顿留给我们的最值得称道的成果（新数域必须放弃作为域的10条件中的某些条款），我们应该用新数域的性质去诠释它！
2.数域拓广的正确道路是什么
首先我们注意到，第一运算（加法）的逆运算，第二运算（乘法）的逆运算，第三运算（乘方）的逆运算，都引起数的概念的不断扩充。在此，一个简单的思维-----理应由第四运算的逆运算去完成数域由二元数拓广到三元数，遗憾地被人们忽视了。'数'是客观存在的，它的被'发现'（不能说'发明'）绝对不能建立在人为的约定上，这是哈宻顿在认识论上的错误。这一简单的思维为什么会被忽视呢？原因是文明史所给我们人类的三大运算，被我们僵化了。似乎上帝是吝啬的，再也不肯给我们点什么了。
实际上，当我们总结三大运算的发展规律后就不难发现，运算类别竟然是无穷无尽的。运算的发展规律如下表所示：
类别
转化第一运算第二运算第三运算第四运算┄┄
一般式a+b=c
特殊式a+a=c2a=c
一般式ab=c
特殊式aa=ca2=c
一般式ab=c
特殊式aa=c
a =c
一般式a =c
┄┄
作者在文献I里，由第四运算的逆运算引出了空数j，从而三维空间内任一点(a,b,c)对应着一个超复数 且 或 或 ；又 。
显然，在这里（三元）超复数的运算放弃了域的10条件中的'乘积唯一性'这一条件，同时也就放弃了第10条，哈宻顿的成果在这里得到了诠释。不过要说明的是，在哈宻顿那里放弃乘积的交换律之举是人为的规定，而在我们这里放弃乘积唯一性一亊却是客观形成的。
可以这样说,数域的拓广的唯一道路是运算类的扩充，然后依靠新的运算的逆运算去完成数域的拓广。数的不断拓广的历史已经展示了这一规律，因此我们可以明确地指出哈宻顿之路是条歧路。哈宻顿的四元数如果是由第五运算的逆运算引出,那么它才具有强大的生命力。
二.(三元)超复数与其它空间理论的关系
由上一段的论述，我们可以清晰地看到数学上的空间理论，实际是沿袭着两条轨道发展着：第一条道路是由运算类的不断扩充，使数由一元数(直线数)'二元数(平面数)'三元数(三维空间数)'四元数(四维空间数)'……；第二条道路是公理化道路。
自非欧几何被公认后，人们明确了：可以建立不同的公理化系统，只要逻辑无矛盾地演绎下去，就可以构造出各式各样的空间理论。于是，各种公理化的空间被研究着。例如，黎曼空间及希尔伯特空间等等。
我们知道，空间是物质的存在形式，空间结构反映一系列物体的关系和现象的规律性。这里，最基本的元素是点及两点距离。任何一个空间理论都是由此出发的，只不过道路1上的点是实在的几何点，两点距离也是几何意义的距离；道路2上的点，可以是非几何意义的，两点距离则以公理形式定义着。
道路1上的空间(目前只到三维空间)理论是以处理解析函数为主题方向发展着，这些理论都依托着欧几里得空间(均匀的无曲率空间) 。
道路2上的空间理论，是以处理空间的几何性质、结构为主题方向发展着。
两条道路上的空间理论相互之间具有不可替代性又是可以相互渗透的.或者说,在处理某些客观问题上是等效的。例如：在希尔伯特空间中，像能量、冲量…….这类数量是借用共轭运算子来研究,而在《超变函数论》中是用 来研究（这里向量A代表場内任一点处的能量宻度）、能量的变化及冲量的变化用副冲量度vdbiA来研究(见《超变函数与场论关系》一文) 。
三.《超变函数论》对物理学的贡献
在三元数域上,我们建立了《超变函数论》。它的理论框架可见诸于作者的四篇论文。在此，我们只强调一下，这个理论为物理学提供了什么样的数学工具：(这些数学工具都是其它空间理论所未曾提供的)
1.为三维向量场A提供了除旋度 、散度 外的副冲量度vdbiA-
2.由 、 、vdbiA==》势函数 、流函数 及副冲量函数 的解析表示
3.势函数、流函数、副冲度函数是共轭调和函数，它们满足超变函数的解析条件。
4.正如在二维向量场的由等势线和等流线构成的"流网"的重要意义一样，《超变函数论》给出了三维向量场的由等势面、等流面及等副冲量面构成的"屋式网挌" ，它对分析三维场的诸种问题起着重要作用。
有了这些数学工具，流体力学的核心方程（贝努里方程）应该修正；电磁力学的核心方程（麦克斯威方程）应该得到补充，从而使光的波动性和粒子性都可以解析地表达；湍流的数学本质也可揭示清楚。
5. 提供了三维空间的保角映射的充要条件，这是三维空间内边值问题所需要的理论根据(见《超变函数的保角咉射》) 。
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四 关于四元数
1843年哈宻顿在爱尔兰皇家科学院会议上宣告了四元数的发明。何谓四元数？
形如 的数称为四元数，其中i、j、k是三坐标轴正方向上的一个单元。
四元数的运算建立在下列基础上，即； (这是规定的运算) 。
哈宻顿对四元数具有无限的热情，他相信这个发明和微积分同等重要。当他引入算子 后，作用于一个连续的向量点函数
上时,可得
这个结果说明什么？首先它是个四元数，其次它把向量場的散度及旋度连结在一起了，这是任何－个数学家都为之鼓舞的亊情：由此可以期待四元数在物理学中得到应用。
但是，四元数致命的弱点是不能进行分析运算，或者再说得本质－些，四元函数缺少解析条件（类似于复变函数的C-R条件），这就决定了四元数在应用上的局限性。倒是由四元数分离出的向量部分 为工程师们所青睐。
将三维向量分析从四元数里分离出来，归功于J.W.Gibbs。他在《向量分析基础》中写道："建立这个课题的方法与处理四元数的方法有些不同，只是给出－个适当的记法来表达向量之间或向量与数量之间的那些关系，这个记法看来是非常重要的，它非常容易地引导到解析变换" 。
历史上，四元数的拥护者和向量的拥护者之间展开过"究竟哪个更为有用" 的爭论，最后以有利于向量而解决，工程师和物理学家欢迎J.W.Gibbs的向量分析。麦克斯威（Maxwell）用向量分析的方法所建立的电磁学方程组清楚地表明向量是物理思想的有力工具。
如何评价四元数的意义呢？
1、"四元数的引进，揭开了新的数学前景--不是只有一个实数和复数的代数，而是有很多个不相同的代数" ， 这亇观点是开拓性的 。
2、由四元数分离出的向量代数在物理学上有着广泛的应用。
3、哈宻顿在建立四元数时，放弃了"乘法滿足交換律" 的原则，尽管这是革命性的，但其数学基础却是人为的规定，而不是自然产生的。
4、在四元数那里不能产生分析运算，这就决定了其应用的局限性。
5、伴隨四元数的研究，产生过各式各样的超复数。其中－个重要成果我们不应忘记：哈佛大学数学教授Benjamin.Peiree（1809-1880）在《线性结合代数》中引进了幂零元的概念，即元素A对某正整数n满足 ；又引进了幂等元的概念，即元素A对某个n滿足 。他证明了，一个代数（域）如果在其中至少有－个非幂零元，则必有一个幂等元。
我们非常欢迎这个结果，因为它佐证了我们所得出的空数j的性质之－： （n为正整数）是正确的。为什么？在三元超复数域中，空数j对一切正整数n, ，. 即j是个非幂零元，因而必有 对－切n成立，即j是个幂等元。这个结果恰好是对空数j的上述重要性质的肯定。
五，结语
三元数是个客观存在，数学大家庭应该接纳她并在物理实踐中去应用她。这大概是本世纪数学上的重大课题吧？宣布三元数不存在，却又去搞四元数是数学的一大失误。正因这一失误，致使三维向量场缺失了完备的数学工具。
众所周知，自然、数学、哲学三者的和谐与统一是人类文明的最高追求。如果数学界忽视三元数的存在，就等于截断了空间理论的一条腿（在自然轨道上发展着的空间理论）而只剩下空间理论的公理化道路这一条腿。在这一失衡状态下，数学的逻辑系统与物理实在的逻辑系统之间是不甚和谐的。在三元数的基础上发展起来的"超变函数论"可以使物理学和数学紧宻地结合起来，其原因非常简单：由数域的不断扩充而形成的空间理论是完全客观的、自然的，它比带有人为规定因素的公理化空间理论更贴近物理的实在。
参考文献
[1] 于涤尘《超变函数论探讨》Int. J. Appl. Math. Stat.; Vol. 13; No. S08; September 2008; 95-113
ISSN 0973-1377 (Print), ISSN 0973-7545 (Online)
Copyright . 2008 by IJAMAS, CESER
[2] 于涤尘《超变函数的四个等价命题》，Int. J. Appl. Math. Stat.; Vol. 13; No. S09
[3] 于涤尘《超变函数论与場论的关系》，Int. J. Appl. Math. Stat.; Vol. 13; No. S10
[4] 华罗庚《高等数学引论》 [M]. 北京：科学出版社，1963.
[5] The contents, approach and significances of mathematics Α.Д.Αдександровит.д.
[6] И.И.Привалов 《复变函数引论》
[7]M. 克莱因《古今数学思想》
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