神奇的分数维图形
2016/6/10 超级数学建模

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     你知道一维的线段，二维的形状，三维的立体，你也许能想象四维五维空间的样子，你能想象1.5维图形或者1.7维图形么？

     我曾经听过一个同学说他研究的是分数维图形，后来也一知半解地看了一下，给大家做个简单的科普：

    

     这个图形可能很多人见过，学名叫“谢宾斯基三角形”，是分形几何学里面的一个入门例子。

     这个图形是把正三角形分成大小相等的4块，然后挖去中间1块。

     再把剩下3块重复上述操作……不断重复。

     如果无限细分下去，这个图形的面积趋向于0(每切割一次，面积为原来的3/4)。

     这个图形被称为2维图形已经十分勉强，但显然又不是一个1维图形。那这个图是几维的呢？

     我们来找一下维度与图形大小的关系。

     一维的线段：当这条线段朝所有方向延伸2倍之后，其大小是原来线段的2倍。也就是说，由2条原来的线段，可以拼成一条2倍的线段。

     二维的图形(以方形为例)：当这个方形朝所有方向延伸2倍之后，其大小是原来方形的4倍。由4个原来的方形，可以拼成一个大的方形。

     三维的图形(以立方体为例)：当这个立方体朝所有方向延伸2倍之后，其大小是原来立方体的8倍。由8个原来的立方体，可以拼成一个大的立方体。

     找到规律了没？

     n维的图形，延伸2倍之后，其大小是原来图形2的n次方倍。

    

     我们再回到这个图……当这个图无限分割下去的时候，我们会发现一个令人惊讶的事实：

     一个大图是由3个小图构成的，也就是说，这个图延伸2倍的时候，大小变成了原来的3倍。

     所以我们认为，这个无限分割之后的谢宾斯基三角形，其维度是ln3/ln2，大概是1.58

     再举个例子：

     下图的科克曲线，现在能算出是几维的吗？

    

     via：卢天亮 (知乎)

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