哥德尔洞穿了罗素的马其诺防线
2015/2/7 哲学园

     哥德尔洞穿了罗素的马其诺防线

     译者： TTK 原作者：Douglas R. Hofstadter

     作者简介

     Douglas Richard Hofstadter，1945年2月15日-)，中文名侯世达，美国学者、作家。他的主要研究领域包括意识、类比、艺术创造、文学翻译以及数学和物理学探索。

     侯世达因其著作《哥德尔、埃舍尔、巴赫》获得普立兹奖(非小说类别)[1][2] 和美国国家图书奖(科学类别)。

     侯世达出生在美国纽约市，父亲是诺贝尔奖得主、物理学家罗伯特·霍夫施塔特，在斯坦福大学担任教授。侯世达在大学校园中长大，1958年到1959年间在日内瓦国际学校上学。1965年，侯世达以数学优等成绩从斯坦福大学毕业，1975年又在俄勒冈大学获得了物理学博士学位。侯世达出生在美国纽约市，父亲是诺贝尔奖得主、物理学家罗伯特·霍夫施塔特，在斯坦福大学担任教授。侯世达在大学校园中长大，1958年到1959年间在日内瓦国际学校上学。1965年，侯世达以数学优等成绩从斯坦福大学毕业，1975年又在俄勒冈大学获得了物理学博士学位。

     侯世达是美国印第安纳大学文理学院认知科学杰出教授，主管概念和认知研究中心。他本人和他辅导的研究生组成“流体类推研究小组”。1977年，侯世达原本属于印第安纳大学的计算机科学系，然后他开始了自己的研究项目，研究心理活动的计算机建模(他原本称之为“人工智能研究”，不久就改称为“认知科学研究”)。1984年，侯世达受聘于密歇根大学，任心理学教授，同时负责人类认识研究。1988年，他回到印第安纳大学，任“文理学院教授”，参与认知科学和计算机科学两个学科，同时还是科学史和科学哲学、哲学、比较文学、心理学的兼职教授，当然侯世达本人表示他只是在名义上参与这些系科的工作。2009年4月，侯世达被选为美国文理科学院院士，并成为美国哲学会会员。

     我刚刚提到，将焦点从物质的元件转移到抽象的模式，便可实现从无生命到有生命，从非语义到语义，从无意义到有意义的近乎神奇的一跃。但这是如何发生的呢？毕竟，从物质到模式的跳跃，很明显不是都能产生意识或灵魂，或是自我的。那么，何种模式才是自我的真正标志呢？GEB的答案是：奇异环。

     讽刺的是，第一个被发现的奇异环——我也把它当成这个概念的典型——恰恰位于这样一个系统中，它本是特意为将闭环阻隔在外而构建的。我说的是罗素和怀特海(Bertrand Russell and Alfred North Whitehead)的赫赫有名的专著《数学原理》(Principia Mathematica)。其卷帙浩繁，令人生畏，密密麻麻的符号系统缀满了一卷又一卷，摸起来简直扎手；写成于1910-1913年间，因第一作者为回避数学中自指向(self-reference)的悖论，求出路孤注一掷，这本书即多半为此而作。

     《数学原理》有一核心理论，罗素谓之“类型论”(theory of types)，很像是与其大致同时代的马其诺防线，二者都是想通过建立起一个坚不可摧、密不透风的屏障，而拒“敌”于外。在法国人看来，敌人是德国；在罗素看来，则是自指向。对于数学系统罗素相信，不论以何种方式谈论自身都是死亡之吻，因为自指向定会——他以为——打开通往自我矛盾的大门，从而将一切数学建构夷为平地。为了抢先阻止这严酷的命运，他发明了一个精密(并且无限)的层级结构，级间彼此都屏蔽开来，从而确保——他以为——避免可怖的自指向病毒感染这脆弱的系统。

     这条数学马其诺防线，乃是罗素和怀特海针对自指向而设。几十年过后，终于有个年轻人，奥地利逻辑学家哥德尔(Kurt G?del)，他意识到能够以最灵活的方式绕过它(就像二战中德国人将很快避开实际的马其诺防线)，并且自指向不仅从最开始就钻进了《数学原理》，实际上可怜的《原理》已病入膏肓。更要命的还有，哥德尔无情揭示出，此系统被自指向蛀蚀得千疮百孔，并非因其本身有何不足，正相反，而是由于其表现力强。任何与之类似的系统都会具有一模一样的“缺陷”。从大脑跳到自我，从无生命的构件转到活着的模式，因为需要大致像这样的一跃，所以过了这么久人们才意识到这个令人震惊的事实。

     哥德尔这边，在1930年左右，他专注于一项朴素然而内涵丰富的发现——“哥德尔数”(“G?del numbering”)，即在任意的符号系统中，长长的符号串的线性组合，与某个整数(通常是天文数字般巨大)之间，基于数学关系可建立起精确映射。借助于这种在无意义的(再次使用这个可疑的词)符号和大数之间的映射，哥德尔展示了关于任意的数学形式系统的论述(例如断言道《数学原理》是不含矛盾的)，如何能被翻译成数论(对整数的研究)范畴内的数学论述。换句话说，任何元数学论述(metamathematical statement)能被转换到数学内部，在此新形态下，此论述仅仅断言(正如数论中所有论述那样)某某整数具有某个特性，或是某某整数间具备何种关系。但是在另一层面上，此论述还具有另一极其不同的含义，表面上看来，就像是陀思妥耶夫斯基小说中的一句话一样，跟数论中的论述迥异。

     通过哥德尔的映射，任何设计被用来吐出，“只”关于数字的真命题的形式系统——不留意间，但不可避免地——会吐出关于自身性质的真命题，因此可以说，变得“有自我意识”了。在侵染《原理》并被哥德尔曝光出来的，众多自指向隐秘实例中，里面最浓缩的是那些谈论它们自己的哥德尔数的例子，特别是涉及到关于自身的一些非常奇怪的论述，比如“在《原理》内部，我是不可证明的”。让我再复述一遍：这种扭曲、这种盘绕、这种自折叠的实例，非但不是可根除的缺点，反而是由于该系统威力强大而导致的，无可避免的副产品。

     就在罗素为了拒敌于外，精心设计、不计代价修建起来的堡垒胸膛内，实际上遍布了自指向，不必诧异，哥德尔的这一突然发现在数学和哲学领域都引起了革命性的影响；最著名的就是所谓数学形式系统的“本质不完备”(“essential incompleteness”)。这个概念将在后续章节详细讨论，不过尽管迷人，不完备性本身却不是GEB的核心主题。对GEB而言，哥德尔研究工作的最关键部分在于，它证明了即便是在一个貌似毫无意义的宇宙中，某个论述的意义仍能产生深刻的影响。于是正是哥德尔G语句的含义(一句论述为“G在《原理》内不可证”的话)保证了G在《原理》内不可证(这正是G所断言的)。好像这句话隐含的哥德尔式意义，具有某种更高的力量，超越系统内空洞的符号推演、与意义无关的规则，彻底阻止系统内证明出语句G，不论它们再怎么努力也徒劳。

     转自译言

     http://article.yeeyan.org/view/237663/389914

     鸣谢

    

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