蒯因：刘易斯·卡罗尔的逻辑
2015/7/22 哲学园
蒯因：刘易斯·卡罗尔的逻辑
(涂纪亮 译)
对我们大多数人来说，刘易斯·卡罗尔(Lewis Carrol)是一个重要人物。我们中某些人并没有因时间的进展而遗弃他。在有关他的传说中有一些引起逻辑学家发笑的滑稽言论。在某种哲学分析的过程中，有时会引用他的某些段落，这种引用显然使这个肿块膨胀起来。他的这部新的遗著在80年代之后出版，这是一个不会轻易消逝的事件。
这部新著竟以《符号逻辑》为书名出版，这再次激起逻辑学家们的好奇心。他们已经知道1886年出版的有200页中等篇幅的第一部分。刘易斯·卡罗尔声称，这一部分在10个月的期间内出了四版。尽管它的标题很严肃，但如作者所意图的那样，它是儿童们也能接受的。当时作者已设计出它的第二部分和第三部分，第二部分是高等的，第三部分是超验的。目前再度摆在我们面前的是第二部分。在卡罗尔的那个时代，现代逻辑刚刚形成，因此我们中间某些比较喜欢空想的人可能在阅读他的这部新发表的高等逻辑时希望发现某些至少具有历史意义的预见，也许甚至希望发现一些与当前探讨的话题有关的新看法。这一卷的编者巴特利(W.W.Bartley)在预先制作的一个宣传材料，即他于1972年在《科学的美国人》上发表的一篇论文中，表现出这种喜欢空想的态度，并且加以提倡。
卡罗尔在1898年逝世前一直在撰写此书的第二部分。这部著作在撰写期间，它的许多章节已排出字型。巴特利教授取回长达145页的长条校样。巴特利对这部分材料作了扩充，其中28页是他自己写的，16页取自卡罗尔的札记和书信，30页的摹本、照片和漫画取自其他来源。以如此方式综合而成的第二部分，就是目前摆在我们面前的这本书的下半部分；巴特利也重印了第一部分，并在前面加上长达40页的编者导言。
让我们从回顾第一部分即基本原理开始。它不是一部开拓性的著作。它不具有一种可以正当地称之为现代逻辑的那种内容，尽管现代逻辑在此之前17年已于1879年突然出现在弗雷格的手中。的确没有什么理由可以认为卡罗尔已经对弗雷格有所知晓，因为弗雷格的著作长期未受到重视。不过，在卡罗尔的那些年代，弗雷格的关键思想已在美国被C.S.皮尔士发现(1885)，而且科学在这三个国家中获得了飞速发展。厄恩斯特·施罗德(Ernst SchrOder)在1890、1891和1895年已以专著的形式发表了现代逻辑。皮亚诺在1888年已经显示出一些思想光芒，在1893--1895年的出版物中已坚定地掌握了现代逻辑。然而，卡罗尔与逻辑文献的联系却越过后来所有这些重大发展，而追溯到约翰·文恩(John Venn)于1881年出版的那本无法更新的同名著作《符号逻辑》。我们的编者的确表明卡罗尔对皮尔士有所了解，但皮尔士对他的影响则不明显。此外，他引证埃里克·坦普尔·贝尔(EricTemple Bell)的话，说贝尔把卡罗尔说成是“一个远远走在他的同时代英国人之前的数理逻辑学家”。在这里，“英国人”一词至关重要，不过，即使如此，“远远”一词仍然值得商榷。
让我们解释一下现代逻辑的突出特征。人们经常说，传统逻辑仅仅探讨属性，而现代逻辑还探讨关系。不过，这种对比易于引起误解，特别是因为卡罗尔自己也强调某种被他称为关系的东西。
逻辑，不论旧逻辑或者新逻辑，都探讨蕴涵。如果一个语句被另一个语句蕴涵，或者被几个语句结合在一起加以蕴涵，那么这些联系通常依赖于它们在不同的语境中共同享有一些词项。例如，把卡罗尔的逻辑中下面这个三段论改写一下：
只有勇敢的人才该得到美女，某些说大话的人不是勇敢的，因此，某些说大话的人不该得到美女。
现在，“该得到”(deserves)这个共享的词项肯定是表示关系。它被应用于成对的人：X该得到Y。可是，我们的三段论不是以它为根据，因为这个词项有一个固定不变的语境：“该得到美女”。与我们的三段论结构相关联的，毋宁是作为一个整体的后面这三个词项，它表示人们在某一个时刻取得的一种单纯的属性：X该得到美女。
与此相反，还有取自雍久斯(Jungius)的下面这个有名的事例：
圆圈是图形，因此，任何一个画出圆圈的人都画出一个图形。
只有通过关注“画出”这个关系词项，才能引出这种蕴涵赖以得到支持的那个结构。如果我们匆促地把这个词项作为“画出一个圆圈”与“画出一个图形”这两个紧密结合为一体的属性词项的一部分排除掉，那就会失去所需要的结构。
那些以这种方式主要依赖于关系词项的蕴涵，是旧逻辑不能以任何系统的方式加以包罗的东西，而新逻辑则能顺利地和毫不遗漏地加以包罗。从雍久斯那里取来的这个平凡事例未能暗示这种包罗是多么广泛。现代逻辑是数学的一个重要分支，而且是一个卓越的分支。三段论尽管有这一切缺点，好多世纪以来却一直是形式逻辑的柱石。为了准确地找出一种有效的三段论，已设计出许多规则，它们与其说是一种计算，不如说是一些描述规则。在某些时候曾出现过一些从代数角度通过加快工作进度和扩大覆盖面的方式作出的革新。乔治·布尔(George Boole)在1850年前后进行的工作，是按这种方式进行的那种更加连续的发展的一个开端。当时，奥古斯特·德·摩根(Au—gustas De—Morgen)甚至大胆地提出一种小型的关系代数，它适合于雍久斯所举出的事例以及与此类似的事例，不过它与其说是一种地道的现代逻辑，不如说是现代逻辑的一种预兆。它不是非常系统的，它的覆盖面参差不齐。
斯坦利·耶方斯(W.Stanley Jevons)沿着这条路线继续工作，还为检验三段论和其他简单推理提出了一种方便的图解方法。所有这一切又都是纯粹的属性理论，而不是关系理论。我们看出文恩是卡罗尔的出发点。这个出发点是无足轻重的。卡罗尔使用一种不同的图解方法，而且他的代数标记法不是十分严格地遵守算术类比。他的标记法具有把词项的联结词与语句的联结词区别开来这个优点；这种标记法使他离开了文恩及其先驱者的用法，但在他的轨道之外的新逻辑中这种标记法已经很平常了。卡罗尔在他的后期著作中并没有严格遵守这种标记法。
卡罗尔有一种简明的、使用下角数码的标记法。在“x”代表一个词项，例如“天使”的场合下，“x0”意指没有x，而“x1”意指有某个x。因此，“xy0”意指没有xy，或者换句话说，没有x和y，而“xy1”意指某个x是y。为了共同地断定“x1”和xy0”，他写出“x1 y0”。与此相应，我们想用“x0y1”去共同地断定“x0”和“xy1”，然而它们是不相容的，于是卡罗尔对“x0y1”作另一种使用，即意指x0或xy1。从这一点上我们可以猜测，对他而言，代数标记法与其说是一种计算手段，不如说是一种速记法。当我读下去时，这种想法得到了证实：他在检验蕴涵时不是借助于描述规则，而是借助于代数变换。就此而言，他与自古以来的三段论法传统的亲缘关系甚过于与布尔及其追随者的亲缘关系。
不过，他的确果断地改进了三段论法的一些陈旧的处理方式。旧式学校的校友们会回忆起三段论中原来有24种有效的式(mood)，它们被划分为四个格(figure)。卡罗尔重新把否定与谓词词项连到一起，从而把“are—not y”读作“are non—y”；而且，他允许主词词项同样地是否定的；最后，他删去了主词和谓词之间的区别。结果是，原来的式中有12个被吸收到另12个之中，出现了12个新的式，按照传统，它们没有被覆盖。他却使覆盖面增加一倍，同时简化了规则。他举出三个格，而不是四个格。
在三段论之后又考察什么呢?卡罗尔回答说：复合三段论(sori—tes)。复合三段论是那样一种三段论，它包含有许多个前提，并且可以被分解为一系列三段论。卡罗尔的奇怪想法已显示在他举出的一些关于三段论的事例中，不过，正是在他所谓的复合三段论中，他让那些奇怪想法丝毫不受约束地表现出来。一个典型的复合三段论包含有下面这六个前提：
没有一个经常给他的妻子赠送新衣服的丈夫可能是一个性格执拗的男人。
一个有条不紊的丈夫总是回家喝茶。
没有一个把他的帽子挂在煤气喷嘴之上的人可能是一个被他的妻子管得循规蹈矩的男人。
一个好丈夫总是把新衣服赠送给他的妻子。
没有一个丈夫可能不是性格执拗的，如果他的妻子没有使他变得循规蹈矩。
一个杂乱无章的丈夫往往把他的帽子挂在煤气喷嘴之上。
问题在于找出一个结论即一个好丈夫总是回家喝茶，并且在一系列有效的三段论中把这个结论推演出来。在这点上，卡罗尔的确提出某种具有算法性质的(algorithmic)东西：一种把前提加以符号化并从其中不断地删去一些词项的程序。每一个那样的步骤都把两个语句改变为一个中介的结论，这个过程最后以对运气作出推断而告终。在第一部分的开头部分，作者概括地作出一些本体论论断：“宇宙包含事物……事物具有属性。”卡罗尔然后转向“一个心理过程，我们在其中想象我们把某些事物放在一起，置于一个集团之中。那样一个集团就是类”。我们以为一些类相互之间仅仅就其成员而言有所区别，然而不是如此。他认为“那些重达一吨同时又被一个婴儿轻易举起的东西”构成一个空类，而“那些用黄金铺路的城镇”则构成另一个空类。为什么除了属性之外还需要谈论类呢?
“一个仅仅包含一个成员的类被称为个体。”在如此地没有把单元类(unit classes)与其成员区别开的情况下，他颇有特色地把从布尔开始通过文恩的那个世系继续下去。当时，弗雷格和皮亚诺已经认识到人们多么迫切地需要作出这些区别，不过他们的工作属于另一个世界。卡罗尔反驳某些人对三段论的指责，这些人认为三段论犯了“乞求论题”的错误。这种批评是司空见惯的和软弱无力的，而对它的反驳却是粗暴的。他把那些指责者说成是他们声称“整个结论都包含在其中一个前提之中”，并轻而易举地用下述说法以对抗这种批评：“结论其实包含在两个结合到一起的前提之中”。作为此书第一部分的一部分读者的儿童们成为唯一的一些那样的读者，他们易于相信的确有人声称“整个结论都包含在其中一个前提之中”。卡罗尔为这些儿童树立了一个关于智力道德的坏榜样。
我刚刚描述了再版的第一部分。由于它指望能被儿童们接受，因此它基本上仍停留在三段论的水平上这一点是可以理解的。让我们最后考察第二部分，即属于高级的那一部分。这正是可能在其中找出一点在历史上有意义的东西的地方，如果这里有那样的东西的话。
第二部分开始时把一小部分篇幅用于讨论另一个传统的争论问题；粗略说来，与三段论是否乞求论题这个问题一样，这个问题也只具有一种可以忽视的分量。这是一个关于“所有的z都是Y”是否蕴涵z的争论。中世纪的三段论规则支持这种蕴涵。现代逻辑则通过把一种重要作用赋予“所有的工都是Y”这种说法并不要求这里有z这样一种理解，获得了对称性和简明性。也许，这些词的通常用法在这点上有所不同，不过没有关系，因为任何人都可能为了确切一些而增加一个词组，如果他愿意的话。卡罗尔在这一点上却做得不好。他其实承认他想证明这种蕴涵，他是从另一些不具有更加强烈的要求而显然是等值的蕴涵中提出论证的。正如编者所承认的，这是乞求论题的一种令人遗憾的表现。
卡罗尔喜欢争吵。他在情绪激动地为重新把“are not Y”解释为“are non—Y”作辩护时立刻又表现出他喜欢争吵。我在上面曾不在意地赞扬了这种做法，因为它提供了一种对三段论的简化处理方法，而卡罗尔却吹毛求疵。他猛烈抨击“某些逻辑学家”，说他们“对否定的属性怀有一种完全是病态的恐惧心理，这种恐惧心理使他们像受惊的儿童那样闭上眼睛”，一种“毫无道理的恐惧”。当他进而为他的图解优越于文恩的图解作辩解时，他的这种想方设法为自己辩护的态度再度表现出来。他反驳说，文恩的区划(compartment)中有一个未能遮盖起来，即是整个外部的空间；他清楚地知道我们非常容易把它完全遮盖起来以便顺利进行下去。
我现在能对第一部分中处理三段论和复合三段论时所使用的那种基本的代数标记法作少许的补充：补充一个表示“或者”的符号。借助于这个符号，可以把三段论中他所谓的三个格扩大到六个。这些补充的形式越来越不同于以前如此称呼的三段论，不过它们仍然有三个词项，全部是关于属性的。
接着，编者插入了他在卡罗尔的文章中发现的某些逻辑图表，并力图加以解释，只有一张例外。大部分图表是一张单一的图表的变体，最好从三个维面把这张图表想象为由一个四面体(tetrahedron)上的13个点组成。这些点代表“there are z”、“all z are Y”、“no z are Y”、“some z are Y”以及各种各样的、更加复杂的组合，处于任何一条线中部的公式都蕴涵在处于顶端的那些公式之中。
其次是什么呢?又返回到复合三段论：他提出一种具有系谱图那种形式的算法。在给出任何数目的前提的情况下，这个程序就能发现适当的结论(如果有任何这样的结论)，并且加以确定。这需要每一个前提和结论或者具有“All xyz…are/uvw”这样的形式，或者具有“There are no xyz…”这样的形式，以及任何数目的被否定的词项。(他的第15个事例超出这个要求，即它的24个前提中有两个前提，不过他把这两个前提还原为形式。)
紧接着是一系列幻想出来的事例，其中某些事例具有多达50个前提和更多的词项。例如，学童问题、猪排问题、弗罗吉(Froggy)问题以及其他等等。这些材料除了取自第二部分的不完全的长条校样外，大部分取自卡罗尔的其他著作。弗罗吉问题曾经出现在安非戈利(Amphigory)的安塔尤(Antaeus)之中，配有戈雷(Gorey)的漫画，这些漫画被复制出来。卡罗尔借助于他的系谱图方法(作了一些变动)解决了其中某些问题。正如编者指出的，这里弥漫着一种侦探的气氛；“它几乎好像是谢洛克·福尔摩斯(Sherlock Holmes)委托卡罗尔去协助教导那个可怜的华生医士”。某些问题不是借助于符号手段进行的，这些问题逐渐被淡化入“我说谎”这个古老的悖论以及某些较小的谜之中。某些问题是用我们如此喜欢的卡罗尔的那种悠闲的叙事风格详细地提出的。其中有一个问题：“阿基里斯(Achilles)对乌龟托托伊斯(Totoise)说了些什么”。它首先发表在《心》杂志上，哲学家们对它颇为熟悉。卡罗尔关于这些形形色色的问题的书信被收入这本书中，大部分书信是写给约翰·库克·威尔逊(John Cook Wilson)的。主要争论出现在卡罗尔所谓的理发店悖论上，这个争论从卡罗尔和威尔逊那里扩展到文恩、西季威克(Sidgwick)、罗素等人那里。这是一个异想天开的问题，没有一个明白“如果”一词的人会对此感兴趣。
编者还从头到尾对此书作了许多注释，它们往往是有用的。在他所写的导论中，我们看出他在长达15年的时间内断断续续地对这些未发表的材料进行探索。他说，这种探索部分地起因于他对赖尔、斯蒂芬(Stephen)、图尔敏(Toulmin)以及我使用《阿基里斯对乌龟托托伊斯说了些什么》一文的方式感到不安。他想知道某些未发表的文章是否可能说明卡罗尔的意向。他引证赖尔和图尔敏的言论，好像他们引证卡罗尔的这篇文章是为了支持他们关于全称假设不是真理而仅仅是“推论的许可证”的看法。他在这一点上没有引证我的话，因为我从来没有接受，也没有谈到关于全称假设的学说。在我引证卡罗尔的这篇文章的场合下，我仅仅陈述卡罗尔自己的观点，并给予适当的好评。他的观点在他的文章中是十分清楚的。至于全称假设的学说，肯定它不是卡罗尔提出的，赖尔和图尔敏也没有认为它是如此。他们故意从卡罗尔那里出发，向他们自己的观点推进。不过，我们仍然要感谢巴特利的误解，如果这种误解导致对卡罗尔的著作作出这种实质性的补充的话。
鉴于巴特利长期从事于研究卡罗尔的文章，热心地加以编辑，人们会认为他是卡罗尔的捍卫者。不过，他现在对卡罗尔的评价比他于1972年在《科学的美国人》中对他的评价稍低一些。当时，他把卡罗尔的系谱图方法看作整个逻辑的非关系部分中用以判定有效性或蕴涵的一般方法。他指出，这种方法预示了某种成就，利奥波德·勒文海姆(Leopold Lowenheim)在1915年通过模仿作出这种成就，并由海因利希·贝曼(Heinrich Behman)在1922年实际地作出。其实，卡罗尔的方法的应用范围比较狭窄，我在上面已指出这一点。巴特利仍然认为卡罗尔的系谱图“令人惊讶地类似于……最近几十年来埃弗特·贝思(Evert Beth)和雅科·欣迪卡所使用的语义图表(Semantic Tab—leaux)”。然而，事实上，这种相似又是表面的，因为在结果方面差异很大。巴特利对卡罗尔关于说谎者悖论的看法也评价过高。不过，我们可能要再次感谢这种过分的热情，只要这种热情是促使巴特利为我们效劳的一个条件。
我们之所以对卡罗尔的这部著作感兴趣，是由于我们赞赏他的其他一些著作。对于那些对刘易斯·卡罗尔的神奇技巧感兴趣的人们来说，这部著作本身也有其他一些令人满意之处。特别是那些对谜题着迷的人们可以在许多漫长的夜晚里沉醉于这部著作之中。
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