狄拉克的数学美原理
2015/8/14 哲学园
莫斯科大学有一个传统，即要求来访的著名物理学家在黑板上题词，并永久地将它保存下来。狄拉克(P. A. M. Dirac)1956年访问那里时在黑板上写道：“物理学定律必须具有数学美(A physical law must possess mathematical beauty)。”[①]这个题词概括了20世纪30年代中期以来占据了狄拉克思想的科学哲学。在现代物理学家中没有人像狄拉克那样全神贯注于美的概念。在他的著作中，我们一次又一次发现诸如美、美丽的、漂亮的，或者丑陋的、丑陋等字眼。他首次使用这类字眼是在1936年，且是以异乎寻常的方式。他那时正把丑陋而又复杂的相对论量子理论与普通的、美丽的非相对论量子理论进行对照。他的数学美的哲学毫无疑问是从量子电动力学的困难中得到了启发，而量子电动力学始终是他经常提到的、一个丑陋的物理理论的例子。
自1936年首次提到美以后，狄拉克又不断发展这一思想。他在1939年作了斯科特演讲，题为“数学和物理学的关系”(The Relation between Mathematics and Physics)。在演讲中他详细阐述了在物理学中数学美的概念。他那时37岁，那个演讲标志着这位伟大物理学家对物理学的沉思，以及对数学美的密切关注。他从一般意义上比较了科学中的经验归纳方法和数学推理方法，认为在物理学中后者更为重要，因为它“能够使人们推导出尚未做过的实验的结果。”[Dirac 1939, p. 122] 然而，为什么数学推理方法能够取得如此显著的成功呢？他回答道：“这必须归因于自然界中的某种数学性质，这是观察自然界因果关系的人不会怀疑的一种性质，然而它在自然界的图式中起着重要的作用。”[Dirac 1939, p. 122]
物理学中的“数学性质”(mathematical quality)常被看作是同简单性原理(principle of simplicity)一致的。根据简单性原理，自然界的基本规律是简单的。最小作用原理或许可看作简单性原理的一个成熟的和定量的形式，和简单性原理一起享有美学地位。简单性与最小作用原理充当的不仅是有用的探索向导，而且是整个理论物理学大厦都服从的目标。最小作用原理普遍性的信仰者普朗克(Max Planck)1915年写道：最小作用原理“在物理学定律中享有最崇高的地位……[而且]似乎统治着自然界中所有可逆的过程。”[Goldberg 1976, p. 140] 普朗克认为简单性原理属于人类心理学的范畴，而不是自然界的一个客观特征。这在过去和现在都是一个相当广泛的信念。就在狄拉克发表斯科特演讲的同一年，玻恩(Max Born)就未来统一理论的前景发表了如下评论：
我们可以相信，它[普遍的公式]将具有一个极值原理(extremal principle)的形式，这不是因为自然界有这么一个愿望或者目的或者为了节约，而是因为我们思想的机制除了把规律的一个复杂的结构浓缩成一个简短的表示以外，再没有其他办法。[Born 1956, p. 77]
然而，其他科学家以更客观的方式相信像简单性这样的美学原理。根据他们的看法，自然界有趋向简单性的固有倾向，且该原理实际上的成功可简单地归因于这样一个事实：自然的规律是简单的。当然，这两层含义常常被混淆在一起，因为对自然界的数学描述常常被认为是自然界实际构造的反映。这种方法论与本体论之间的协调，曾被牛顿在他著名的哲学第一推理法则中表述过：“除去那些既真实又足以说明自然事物的原因之外，我们不再引进更多的原因。”牛顿解释道：“自然不做徒劳之事，解释多了白费口舌，言简意赅才见真谛；因为自然喜欢简单性，不会响应多余原因的奢谈。”[Newton 1729, p. 398]
狄拉克数学美的观点与牛顿的观点是一致的，与玻恩的则不一样。他坚信自然界存在着客观规律，且因为这些规律表示了自然的数学性质，因而可以通过纯粹数学方法来认知它们。
这种状况可以描述为:在数学家的游戏中，数学家自己发明规则，而在物理学家的游戏中,规则却是自然界提供的。但随着时间的流逝，这种情况就变得更明显了：数学家感到有趣的规则正好就是自然界所选择的规则。[Dirac 1939, p. 124]
然而，根据狄拉克的看法，数学和物理学的关系远远比简单性原理所提供的认识要深刻得多。他主张，尽管这个原理对于研究来说是一个有价值的工具，但现代科学已经证明它不能用于普遍的自然现象。他以引力定律作为一个例证。牛顿的理论比爱因斯坦的引力理论简单多了。然而，爱因斯坦的理论更好，更深刻，而且是一个更普遍的理论。数学美，而非简单性，是相对论的特征，是数学和物理学的关系中的核心概念。他牢记这个教训在心，并给理论物理学家以如下建议：
研究工作者在他致力于用数学形式表示自然界时，应该主要追求数学美。他还应该把简单性附属于美而加以考虑……通常的情况是，简单性的要求和美的要求是相同的，但在它们发生冲突的地方，后者更为重要。[Dirac 1939, p. 124]
对于狄拉克来说，数学美这个原理部分是方法论的原则，部分是对自然性质的一个假设。它受到了相对论，特别是广义相对论的鼓舞，还受到了量子力学发展的鼓舞。他认为，经典力学具有许多“优美的特征”，过渡到量子力学时，它们则“以更美的形式在那里重新出现”[Dirac 1939, p. 124]。
在1939年的斯科特演讲词中以及后来许多的出版物中，狄拉克声称，现代物理学的发展，只要给予正确的解释，就能表明，数学家感到真正有意思的规则和自然界所选择的规则之间存在着完美的结合。这为物理学家提供了一种“有力的新研究方法”，即：
……先选择那种人们认为将会构成新理论基础的数学分支。在作这一选择时，对数学美的考虑必定将给人们以很大的影响。……选定了数学分支之后，就应该沿着适当的路线发展它，同时去寻找一种方式，使它能够自然地显示出物理意义。[Dirac 1939, p. 125]
无论是在斯科特演讲词中，还是在随后的著作中，狄拉克从不试图给数学美的概念下一个满意的定义，他写道：“正如艺术中的美不能定义一样，数学美也是一种不能定义的性质，但研究数学的人欣赏到它通常不会有丝毫困难。”[Dirac 1939, p. 123]
这种高明的观点有点类似于彭加勒(Henri Poincaré)先前提出的观点。彭加勒也是数学美的一位坚定的拥护者，他认为科学家研究自然界的原始动力来自于自然本身就是美的。他声称，对自然界的科学研究是一件愉悦智力的工作，自然界有“内在的美，这种美来自于自然界各部分的和谐秩序，只有纯粹的理性才能够领会它。”[②]他说，这种美的思想火花“能够吸引所有特别敏感的数学家，但是外行们对它是无法理解的，他们常常只是对它一笑了之。”[③]在彭加勒的观点里，科学美与艺术上感觉到的美是大不相同的，它具有智力上的特质，而非情感上的特质。狄拉克的美的概念也许更宽泛些，它包含通常与生活中非智力方面相联系的情感因素，对于他来说，美的情感体验是生活中非智力方面的重要内容。在1979年的一次访谈中他说：“自然界提供的方程之美……给人以一种强烈的情感冲动。”[④]他在1972年的一次讲话中坦言道，他对数学美的信仰很像是一种宗教信仰。[⑤]
狄拉克的科学美学观包含一般性(generality)、普遍性(universality)、完备性(completeness)这些概念。例如，比起伽利略群来，洛伦兹群被认为更有意思，也更美，因为它更一般，伽利略群只不过是它的一个特例。尽管非相对论量子力学缺乏一般性和普遍性，但因为它是完备的，所以狄拉克也把它看作是一个美的理论。1949年他说，量子力学的统计基础是“一个丑陋的特征”；从美学角度来考虑，经典理论的精确的决定论更合意。但是，他又说，“在量子力学中有一些非常美丽的特征，它们体现在形式化的数学框架中，我认为它们足以弥补这种丑陋，因而净效果是，这个框架作为一个整体并不比经典理论更丑。”[Dirac 1979b, p. 39]
数学上的严密和公理化的结构，常常被纯粹数学家作为一个理论应有的美的特征而被强调，但它们也不包括在狄拉克的美学概念中。尽管他强调纯数学的威力，但并不认为精确方程和严格证明应当是数学物理学家首要关注的问题。他凭借经验知道，事先强调数学的严密性也许会妨碍物理思想的发展。他有过凭借直觉的、明显缺乏合理基础的数学工具而取得成功的经历，因而领会到没有什么必要去玩纯数学的形式游戏。他在1964年表明了这种态度：“我认为，未来的正确路线在于不要力求数学的严密，而是要在实际例子中去获取方法。”[Dirac 1966, p. 10]
除了“美的”(beautiful)字眼之外，另外两个美学代码也常出现在狄拉克的著述中，它们是“方便的”(convenient)和“复杂的”(complicated)。他常把美的数学与复杂的数学进行对比；如果一个物理理论，例如海森伯–泡利的量子电动力学，只能用一种非常复杂的数学方案来表示，那么就有足够的理由不信任它。根据他的观点，一个基础理论应当用简单而又直接的方式加以表述，为了达到这个目的，方便的变换和方便的符号是关键。如果这种方便的数学工具的引入与数学严密性的要求发生了冲突，他会毫不犹豫地放弃数学的严密性。玛根瑙(Henry Magenau)在1933年的一个评论中，把狄拉克对数学的使用方法与冯·诺伊曼(John von Neumann)的方法进行了对照：
狄拉克总是以令人钦佩的简单性作推理，让他每一步的推理都受物理直觉的引导，而且有时拒绝数学严密性。冯·诺伊曼在处理问题时，总是以最佳的现代数学工具装备起来，分析问题要达到最严格的逻辑完备性才满意。[Margenau 1933, p. 493]
就在同一年里，美国数学家伯克霍夫(Garrett Birkhoff)写信对肯布尔(Edwin Kemble)说，他不赞成狄拉克对数学的使用方法。伯克霍夫曾在剑桥大学聆听过狄拉克讲授量子力学课程。他对狄拉克的数学方法的评论，为数学物理学家和对物理学感兴趣的数学家之间的观点分歧，提供了一个有趣的看法：
出乎我意料的是我发现，狄拉克表述物理系统的方法只是为了形式上的方便，它不具体表达那些人们尚不完全熟悉的数学原理。……狄拉克允许自己享有很多数学上的自由。……我认为狄拉克建设性的成就可追溯到他对对称性原理的天才的观察。他已经明白，在一方面，对称性导致相等并且相反部分的抵消，从而允许我们大大简化关系，在另外一方面，对称性导致从一类事物推论到另一类事物的可能性。……然而，尽管这种方法已经导致并且还会导致大量非常有启发性的结果，我并不认为它能为建立一个新力学提供一个牢固的理论基础。我认为狄拉克的重大贡献可归因于对定性的原理有很优秀的鉴赏力，例如对称性、能量和动量的守恒、相对论不变性(例如，在洛伦兹变换下的对称性)、物理量的量级等等。他给我留下深刻印象的是，他对定量原理、逻辑上的一致性和完备性，以及对一个核心理论作系统的阐释和扩充的可能性等，至少相对而言缺乏鉴赏力。[⑥]
肯布尔同意伯克霍夫大部分的批评，在回信中他写道：
就不合理的推理而言，我已听说有一个人列出了40个或50个这种错误；然而，他的[狄拉克的]最终结果似乎经常与实验一致。对我来说，他总是十分神秘，我的意思是说，他认为每个数学公式如果恰当地理解的话都有意义。这个观点我完全不能接受，这也是我从不采纳他的方法的原因之一，其他许多物理学家也和我一样。[⑦]
狄拉克对数学严密性的宽松态度也许滋生于他早期受到的工程教育。至少他在回忆中是这么说的：
在我看来[大约在1918年]，如果谁要是用近似法来工作，那么在他的工作中就有着不可容忍的丑陋，我非常想保持数学美。然而，我接受的工程教育教我容忍近似值，我还能看到，甚至以近似法为基础的理论中，有时也会有相当多的美。……我想，如果我没有接受过这种工程教育，在我后来从事的工作上就必定不会取得任何成果；因为实际上必须摆脱这种观点，即认为只应当处理那些从人们已经接受的、并且被当作绝对可信的、已知的严格定律中逻辑地推导出来的结果。[Dirac 1977, p. 112]
狄拉克多次以反纯粹主义(antipurist)的方法使用着数学，他信任自己的直觉，留给其他人来证明他的定理并以严格的形式表达他的思想。一个例子是1928年狄拉克矩阵的发明，该矩阵在几年之后被发展成旋量理论(spinor theory)。另一个例子是他于1927年引入的δ函数。他认识到，这个量不是一个普通函数，因此是以一个数学家看来非常不合规则的方式引入的。δ函数实际的、不平常的表现并没有烦扰他：“人们仍然可以实际地应用δ(x)，就像它是一个普通函数一样，以达到量子力学的所有目的而不会得出错误的结果。”[⑧]在1965年他再次劝告说，物理学家不要太关注严密性，而要沿着一个更谦虚的途径，“用一个合理的实用逻辑标准来建立理论，就像工程师工作的方式那样”[⑨]。
同样因为采取这种态度，狄拉克对致力于统一所有物理学理论的数学综合表示怀疑。在他那个时代，这种后来所称的万有理论(theory of everything)，被外尔、爱因斯坦、克莱因、爱丁顿和海森伯等人提出。他完全不相信任何世界公式(Weltformel)。据他个人的经验，他赞成以一个逐步完成的策略去解决物理学中的问题。逐渐改进或批判现有的理论，永远要以数学美作为向导，这就是他所赞赏的方法。他这样写道：“人们不应该试图一口吃个大胖子，应该把物理学中的困难尽可能一个一个地分开，然后再一个一个地解决。”[⑩]他觉得，他在物理学中取得的成功就是坚持这个方法的结果。在量子力学的初期，在他重建的过程中，他总是一步一步循序渐进，他把这个程序看作是整个物理理论发展的一个悦人心意的模式。
海森伯(Werner Heisenberg)回忆了1929年和狄拉克在横跨太平洋的旅行中以及在其他场合，他们俩人有关方法论的讨论：
从方法论上来讲，他的出发点都是特殊问题，而不是广泛的关系。当他描述他的探索时，我常常感觉他把科学研究看作登山运动员登山。重要的是爬过下一个三码距离。如果你坚持不懈，你就一定会到达顶峰。[Heisenberg 1971a, p. 101; Heisenberg 1968, p. 46]
海森伯更喜欢的是雄心勃勃的和革命性的方法。在20世纪60年代，他投身于一个雄心勃勃的计划，和他的合作者致力于统一的量子场论。但狄拉克对该理论是持怀疑态度的，正如他对所有类似统一方案的态度那样。他的反对意见很典型的是基于方法论和美学方面的考虑，这可以从他给海森伯的一封信中看出来：
我对你的工作反对的主要理由是，我并不认为你的基本(非线性场)方程具有足够的数学美，以致可作为物理学的一个基本方程。正确的方程，当它一旦被发现的时候，很可能包含一些新的数学门类，并将在纯粹数学家之间激发出巨大的兴趣，就像过去爱因斯坦的引力场理论那样(现在仍然是如此的)。现在的数学形式在我看来还是不适当的。[11]
狄拉克的物理学方法并不总是与他经常称赞的工程学方法一致，他对数学的态度也不总是保持在注重实效方面。他注重实效的特征风格曾经在《量子力学原理》的前言中被强调过，即认为数学在物理学中是一个最有力的工具，但“不管怎么说，数学仅仅只是一个工具而已。”[Dirac 1930, p. vi] 然而，在40年代及以后，当数学美原理如日俱增地占据了他的思想的时候，他开始认为数学的角色起着一种绝对的、形而上学的作用。把数学美与注重实效的工程学方法协调起来毕竟是很困难的，在工程学方法中数学“仅仅只是一个工具而已。”
尽管数学美的概念只是在30年代后期才正式进入狄拉克的物理学当中，但它早就孕育在他的心里。1930年他就得出结论说，理论物理学必须沿着由美的数学所确定的路线前进。促使他信奉数学美的关键因素，是他在1928年建立电子波动方程的过程中，用本质上是数学的方法导出了惊人的物理结论。在1931年引入磁单极子的论文中，他明确地表达了数学美原理的一个胚胎形式。在该文中他所声称的“取得进展的最强有力的方法”，其实就是他后来的数学美原理。我认为，在此一年之前他首次明确地提及物理学中的美。在《量子力学原理》的首页，他写道，经典电动力学“形成了一个自洽而又优美的理论，使人们不禁会认为，该理论不可能作重大的修改，否则会引起本质上的改变和美的破坏。”这还没有完，他还继续写道，由于量子力学“现在已经达到了这样一种程度，即它的形式体系可以建立在一般规律之上，尽管它还不十分完备，但就它所处理的那些问题而言，它比经典理论更为优美，也更令人满意。”[Dirac 1930, p. 1]作为满足他的美的标准的有趣的数学理论，狄拉克在1939年强调了单复变函数论 [Dirac 1939, p. 125]。他发现这个领域“格外美”，因此很可能会导致深刻的物理洞见。在量子力学中，一个量子系统的状态通常用实变量的函数来表示，实变量的范围是可观测量的本征值。他在1937年建议，实值条件应该放宽，变量应该被看作是复数，这样动力学变量的表达式就能够利用依据复变函数理论的强大数学机器来计算。如果把动力学变量作为复数来处理，它们将不再能够与一般意义上的物理可观测量相联系。他承认这将丧失对物理学的理解，但他并不把抽象程度的提高看作是一个缺点：“相反，我们会得到一些美的数学特征，在处理特定问题时，我们的数学能力也会得到很大的提高。”[Dirac 1937a, p. 48] 他展示了如何用他的新方法来对氢原子作优美的处理，不过，没有导出新的物理结果。
狄拉克偏爱复变量似乎也与他对宇宙学的兴趣有关，尽管是以间接的方式。他在1937-1938年发表的宇宙学理论很少使用数学，根本不包括复变数。该理论所诉诸的数学美，充其量也就是毕达哥拉斯原理，根据毕氏原理，自然界中的数字巧合和规则性并不是偶然的，而是自然规律秩序的表现。古老的毕氏原理求助于整数。所以，狄拉克也猜想，根据整数也许能够最终解释宇宙的秘密。
会不会所有现在的事件都与这个大数[1039]的性质相对应，或更一般地说，宇宙的全部历史与整个自然数序列的性质相对应……？这样，古代哲学家把整个自然界和整数的性质联系起来的梦想，就有可能在某一天得到实现。[Dirac 1939, p. 129]
狄拉克很可能把整数与宇宙学作如下的联系：既然宇宙的规律按假设可以用整数来表示，而对整数的研究又是优美的单复变函数论的一部分，那么，基于这些大自然数的宇宙学理论在美学上就是令人满意的，并且很可能是正确的，倘若美蕴涵着真。这个解释与他在1939年的表述是一致的：
这个发展的一个线索看起来似乎相当明显，那就是，现代数学中关于整数的研究不可避免地与单复变函数论有密切关系。我们已经看到，后者很有希望成为未来物理学的基础。这一想法的实现会使原子论同宇宙论联系起来。[Dirac 1939, p. 32]
狄拉克从来没有放弃他的数学美的观点，在他的大量的出版物当中，无论是专业的也好，还是非专业的也好，都提到了它。在1982年庆祝他80寿辰之际，他发表了一篇题为“美妙的数学”(Pretty Mathematics)的文章，这在理论物理学杂志中是个非常罕见的题目，但它典型地反映了他的个人倾向 [Dirac 1982]。显然他不仅仅为数学美而数学美。他毕竟是一位物理学家，而且坚信，数学美的方法将导致真正的物理学，导致最终能被证实的结果。他认为，实际情况一定会是这样的，因为自然恰好是按照数学美原理来构造的。他在1939年的阐述和他在26年后的阐述完全一致：“人们也许可以说，上帝是一个非常高明的数学家，在建造宇宙时用了非常高级的数学。”[12]
将美等同于真理，使得狄拉克以牺牲实验–归纳方法为代价，片面地强调数学–美学方法。在他心目中，后一种方法完全是“对实验结果亦步亦趋，先是去了解由实验者所获得的全部最新信息，然后才着手建立一个理论以解释它们。”[13]他说这是一个不足取的方法，会导致“无谓的竞争”(rat race)(尽管参与竞争的老鼠相当聪明，他还补充说)。不应该是这样的，人们应当信任自己的基本信念，不要太在意实验的结果。就基础物理学而言，他想要让实验检验从属于数学美这一诚然相当模糊的思想。他主张，“比起一个符合一些实验数据的丑陋的理论来说，一个具有数学美的理论更有可能是正确的。”[Dirac 1970, p. 29] 这是对数学美原理的一个更有争议的解释，因为这种说法不仅对发现的过程起着忠告的作用，而且介入了科学探索的核心——证明的过程。我下面会对此作些分析。
数学美原理的问题，除了它的模糊性之外，就是它有时会导致与实验证据完全相左。狄拉克当然也清楚这一点，但他坚持认为，这种矛盾是实验物理学家的问题，而不是数学美的信仰者的问题。换句话说，他主张数学美的考虑应当(有时)优先于对实验事实的考虑，而且在这种意义上可以作为真理的标准。“如果物理学的方程没有数学上的美，那么这就意味着该理论不完美、有缺陷，因此需要改进。”[14]我将要对这个狄拉克–外尔的观点谈谈我的看法，尽管狄拉克很可能想把他的名字和爱因斯坦的名字放在一起，因为他对爱因斯坦的相对论及其一般科学哲学深怀感激之情并且深信不疑。当然，在狄拉克之前，有许多科学家和哲学家都持有类似于狄拉克–外尔的观点。把上帝或者大自然看作一个数学大师，是思想史上的一个古老的主题。它可以追溯到柏拉图；在伽利略、开普勒、莱布尼兹，以及我们这个世纪的爱因斯坦、金斯(James Jeans)、米尔恩(Edwars Milne)、闵可夫斯基(Hermann Minkowski)和外尔(Hermann Weyl)等人的思想中，都起着重要作用。尽管爱因斯坦和外尔充当了狄拉克的激励者，但我们发现，在狄拉克之前很可能是闵可夫斯基最详细阐述过数学美原理。
闵可夫斯基坚信数学美的标准应该作为真理的标志。他相信“在纯数学和物理学之间存在先定的和谐。”[15]他完全被数学的力量所征服，因此把本体论的身份赋予给了数学结构。他阐述道：“数学家或许会自豪地看到，而人类其他成员或许会无限惊奇地发现，数学家纯粹是在他们的想象中创造出一个很大的天地，有朝一日最丰富的现实存在都应当用它来描写(尽管这些唯心主义者从未作此设想)。”[16]因此，闵可夫斯基的数学美学概念与彭加勒以及其他约定论者的概念不同，但同外尔和狄拉克的思想一致。需要补充的是，关于精英论，他们的观点没有多大分歧：彭加勒(和狄拉克)大概也会同意闵可夫斯基关于数学家和“人类其他成员”之间所作的区分。
闵可夫斯基最著名的学生爱因斯坦是激励狄拉克的一个重要源泉。狄拉克特别把相对论的发现看作是一个最好的例证，即伟大物理学家是怎样追随数学美的方法从而提出了革命性的观念。在他后期的著作中，作为一个优美理论的相对论是他经常写的主题。例如他在1980年这样写道：
洛伦兹变换从数学观点来看是美的；并且爱因斯坦引入了这个思想：凡是在数学上是美的，在描述基本物理学方面就很可能是有价值的。这实在是比以前任何思想都要更基本的思想。描述基本物理学理论的数学方程必须美，我认为这个思想首先应当归功于爱因斯坦而不是别人。[Dirac 1980, p. 6]
广义相对论的创立远比狭义相对论的创立更吸引狄拉克。爱因斯坦受简单性原理引导，并把它作为建立引力理论方程的先验条件，以致他不太关心那些尝试证明该理论的观测。在狄拉克看来，这就是一个理论物理学家应有的正确态度，这个态度是后代物理学家应当效尤的：
让我们来面对这样一个问题：当理论与观察之间出现了差异，而且这个差异是被公认的和被证实的。人们对它会怎样反应？爱因斯坦的反应又是怎样？那时人们应当认为这个理论基本上错了吗？我要说对最后一问的答案显然是不。凡是欣赏自然运行方式和普遍数学美之间本质上和谐的人们必然会感到，一个理论如果像爱因斯坦的理论那样优美，它必定是本质上正确的。……当爱因斯坦正在建立他的引力理论时，他并不试图去解释一些观察结果。他的整个程序就是寻找一个优美的理论，大自然会选择的那一类理论。他只受这样的要求所指引，即这个理论应该是美的和优雅的，人们可望它提供对大自然的基本描述。[Dirac 1979a, p. 17]
在赞扬超经验主义和数学直觉的队伍中，狄拉克一点也不孤独。许多杰出的物理学家都和他一样，坚信爱因斯坦引力理论是在没有经验的基础上创造出来的，并且该理论凭其美学价值必定是正确的。在所有量子理论的先驱者当中，大概唯有玻尔(Niels Bohr)和玻恩挑战这种观点。[17]
然而，在对数学美的鼓吹中，狄拉克把爱因斯坦看作是他的同道，事情真是这样的吗？我认为他实际上是不对的。他重建了现代物理学的部分历史，使它们符合他所偏爱的内容，他还省略了那些与他的偏爱有矛盾的历史。就爱因斯坦而言，他本人的态度是不明确的。的确，爱因斯坦对数学简单性和对称性所扮演的角色很着迷。基于对称性或者美学的推理的考虑，在他的科学研究中起到了重要的启发性作用，而且他也经常反对以牺牲数学论证为代价来使用经验归纳论证[18]。在1933年斯宾塞演讲中，他表达了与狄拉克的观点很一致的看法：
我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提示合适的数学概念，但是数学概念无论如何却不能从经验中推导出来。当然，经验始终是一个数学构造的物理效用的唯一判据。但是这种创造性的原理却存在于数学之中。因此，在某种意义上，我认为，像古人所梦想的，纯粹思维能够把握实在这种看法是正确的。[Einstein 1934, pp. 17-18]
然而，仅在爱因斯坦成熟以后，强调数学美的作用才是他的一个主要特征。在青年时期以及最富有创造力的时期，他对这种观点并不怎么看好，并且事实上否认美学上的考虑能带来启发式的帮助[19]。他认为，形式上的美并不能保证其有物理意义。例如，1921年他把爱丁顿(Arthur S. Eddington)的场论称为“优美的但又是没有物理意义的”，4年之后他又把自己的关于引力和电的统一理论称为“非常美的但又是可疑的”[20]。他迟至1950年还承认，最终“只有经验能够检验真理”[Einstein 1950, p. 17]。这样的论述很难与狄拉克–外尔的观点一致。
外尔或许比爱因斯坦更适于作为狄拉克哲学的典范。“我的工作总是尽力把美和真理统一起来，”外尔曾经说，“但是，当我不得不在这两者中作选择时，我通常选择的是美。”[21]在他1918年的统一场论中他采取了这个策略，利用美学的理由反对爱因斯坦的异议，爱因斯坦认为外尔的理论没有实际的物理意义。外尔毕生都沉迷于柏拉图的思想——数学性质寓于大自然的方案之中。他还利用这个思想来调和基督教的形而上学和现代科学。“大自然的数学法则是神的理智的显示，” 他在1932年声明，“世界不是混沌一片，而是一个有序和谐的整体，服从神圣的数学规律。”[Weyl 1932, p. 11 & 21] 正如在前面章节中提到的那样，狄拉克对外尔完全用数学方法来探讨物理学印象很深。他认为正是因为这样，外尔才认识到反电子和电子有同样的质量，他还称赞外尔的统一场论“其简单性和美无与伦比”。然而应该记住的是，这种赞美出自他晚年的理性认识。在20年代和30年代的初期，他对外尔的理论并未给予多少关注。
数学美原理，就像其他美学原理一样，是相当含糊的。其主要问题是美在本质上是主观的，因此不能作为指导或者评价科学的一个通用工具。至少可以这样说，很难利用理性的论据来证明美学判断的正当性。对美这一观念的分析，在文学和艺术批评中确实有着悠久的传统，包括力图赋予这个概念以客观意义的诸多尝试。美学判断的客观主义论和主观主义论已经争论了好几个世纪，也没有取得什么进展，今天的情形还是和过去一样莫衷一是[22]。除此之外，这场争论与科学美问题有多大关系也不好说。无论如何，我只能得到如下结论：科学中的美学判断植根于主观的和社会的因素。美学标准的把握部分是科学家在社会化的过程中所获得的；但科学家以及科学共同体对于如何判断某个理论的美学价值，意见分歧往往相当大。著名物理学家对于哪些理论是美的哪些是丑的看法并不一致是不足为怪的。请看看下面的阐述，它包含了狄拉克物理学哲学的核心：
在当今物理理论所经受的所有巨大变革当中，只有一座基石经受住了每场风暴的考验，并且人们能够永远抱住不放——这座基石就是这样一个假设：大自然的基本规律对应着一种美的数学理论。这就意味着一个理论建立在简单的数学概念之上，这些数学概念以优美的方式组合在一起，以致人们在与该理论打交道时觉得是一种享受。所以，当一个理论物理学家发现了这样一个理论时，人们就会对它给予极大的信赖。一旦这个理论的预言和实验的结果出现了矛盾，人们的第一反应是怀疑实验发生了错误。只有在大量的实验证明确实如此之后，人们才会接受这个理论需要修改的观点，这意味着人们必须去寻找具有更美的数学基础的理论。[Dirac 1954, p. 143]
在上段引文中，数学美原理的操作困难是明摆着的，尽管不易觉察。当“一个理论物理学家”发现了一个他认为是美的理论时，“人们就会对它给予极大的信赖”，我们确信如此。然而，这个论证预先假定了个体物理学家的数学美感以及其独特的心理素质是“人们”，即理论物理学家共同体，所共享的。狄拉克似乎已经意识到美的观念具有模糊性，但认为在理论物理学中这不是一个严重的问题。1972年，他在迈阿密大学作的题为“基本信念和基础探索”(Basic Belief and Fundamental Research)的演讲中说：
十分清楚的是，美的确依赖于一个人的文化以及绘画、文学、诗歌等各种美术对他的熏陶。……然而，数学美则大不相同。我也许可以说它是完全不同的一种美，它超越了这些个人因素。在有史以来的各个国家和各个时期它都是相同的。[23]
然而，狄拉克的主张缺乏足够的理由。无论是心理学、社会学，还是科学史的研究，都未能提供证据表明，物理学家对科学中美的本性持有一个共同的看法。
与之相反，现代物理学史却支持这样一种观点：对于哪些方程和数学结构是美的和有趣的，物理学家并未形成共识。例如，多数物理学家很可能把群论和拓扑学看作是最有趣的分支，但它们却不在狄拉克的数学美的清单之内。狄拉克和绝大多数物理学家都认为闵可夫斯基的空间观点是非常优美的；闵可夫斯基本人也把它抬高到神性的级别。然而，在它出现之初爱因斯坦并不喜欢它[24]。作为另外一个例子的是，人们可以比较一下海森伯和爱因斯坦关于量子理论的看法。至少是在他们的晚年时期，他们都持有这样一种观点：凡是正确的理论都是简单的和美的。然而，在对于特定理论和方法的具体判断上，他们之间却存在着严重分歧[25]。
科学中美学判据的主观性的另外一个例子，是由狄拉克和伽莫夫(George Gamow)关于宇宙学的讨论所提供的。伽莫夫与狄拉克一样，信仰科学美的价值。在1967年他写道：“(我)赞同狄拉克的这样一个信念：如果一个理论是优美的，那么它一定是正确的。”[Gamow 1967, p. 192] 然而，由于伽莫夫的美的观念和狄拉克不同，所以，这两位物理学家在某些具体事例中，就如何进行美学判断意见不一。伽莫夫1967年在给狄拉克的信中说：“尽管我自认为是一位理论家，但我在心中是非常尊重观察和实验的。”[26]按狄拉克-外尔的观点，这种尊重是不应当的。狄拉克希望依据一个理论的美学性质——当然是他所设想的那些美——来判定实验的正确与否。
按照狄拉克的数学美观念，任何动力学系统应当都能够用满足相对论的哈密顿形式明确地表达出来。大多数物理学家都赏识哈密顿理论的美，而狄拉克发现它是如此地迷人，以致他倾向把它作为任何物理学基础理论都应该满足的一个要求[27]。他对哈密顿发展出一个物理学形式体系的天才留有深刻的印象，这个物理学形式体系当初并没有实际意义，唯其内在之美为人们所欣赏。在1963年于都柏林发表的拉莫尔演讲中，他对这位爱尔兰的理论家大加赞颂：“我们应当沿着哈密顿的足迹前进，把数学美作为我们的指引灯塔，去建立一些有意义的理论——首先它们得具备数学美。”[Dirac 1964, p. 59] 不过，他对哈密顿形式体系的信奉并不是没有遇到问题。据维格纳回忆，狄拉克1927年未能建立费米子的对易关系就是这种信奉的直接后果。维格纳(Eugene P. Wigner)在1963年回忆说：“狄拉克过去和现在都是哈密顿形式的俘虏，他总是根据哈密顿形式体系来考虑问题。”[28]
对物理学中哈密顿形式体系的崇拜，还表明了美学判断是如何随时间发生变化的，以及两个都被视为是美的原理是如何发生冲突的。和大多数物理学家一样，狄拉克把洛伦兹不变性视为美的享受。例如，这是他拒绝薛定谔(Erwin Schr?dinger)1931年提出的理论的主要原因之一，因为在该理论中只有正能量出现。他后来回忆说，薛定谔对波动方程所做的微小改变“破坏了该理论的所有相对论性特征，该理论所有的美也随之荡然无存。”[Dirac 1978, p. 16] 1958年，他试图以精确的哈密顿形式来表述爱因斯坦的引力方程，以便给引力现象以一个简洁的描述 [Dirac 1958]。他的这个理论虽符合简单性原理，但却以牺牲4维空间对称性作为代价。因此，两条美学标准——4维空间对称性和哈密顿形式美——发生了冲突。在对待这件事情上，他给简单性以优先权：
这个结果导致我怀疑在物理学中4维空间对称性的要求是基本的。几十年前，似乎肯定的是，人们必须用4维空间形式来表达整个物理学。但如今看来，4维空间的对称性似乎不是最重要的了，因为当人们抛弃它时，对自然的描述就变得更简单了。[Dirac 1963, p. 46]
在狄拉克看来，缺乏洛伦兹不变性就意味着缺乏一种美。然而，令人惊讶的是，他在必要时甚至愿意牺牲美，以此作为保留逻辑和清晰性的代价。1931年，他在考虑选择量子电动力学的截断(cut off)时说：“我认为，一个非相对论的、丑陋的理论，也比一个违背逻辑、直接舍弃无穷大项的理论更可取。”[Dirac 1983, p. 745] 类似的美学原理之间的冲突发生于1930年，那时他试图为他的反电子寻找一个候选者。在这个案例中，他在两个美学原理之间感到十分为难，这两个原理分别是自然的统一性和数学推理的原则，不幸的是它们导致不同的答案。当他在1936年接受香克兰的实验结果，把它看作是对物理学中美的支持时，他的美感彻底欺骗了他[29]。他的美的观念，当面临物理学实际案例时，是模糊的，这不过是反映了美这个概念以及相关概念所固有的模糊性。
狄拉克-外尔观点的另外一个问题涉及怎么样严格地去遵守数学美的指导。不顾某些经验事实的反驳而大胆地信奉一个理论是一回事，而顽固地坚持这个理论并拒绝接受一切与之冲突的实验结果又是另外一回事。无论是狄拉克还是数学美的其他信奉者，都不接受一个脱离一切经验的、极端的笛卡儿哲学。狄拉克劝告人们不要管那些“丑陋的”实验结果，不过他明智地、并且多少有违初衷地给这个忠告加上了一个限制性条款——“当然，对这些事情人们不必太固执。”[30]然而，只要他没有提供何谓“太固执”的标准(当然也不可能提供这样的标准)，作为研究方法之指导的狄拉克–外尔观点就相当空洞，等于什么也没说。
作为最后一个例子，让我们来讨论守恒原理，例如宇称和时间反演不变性，在物理学中扮演的角色。这些概念在经典物理学中是众所周知的，而且人们普遍认为任何基本定律必须满足宇称和时间反演不变性。这些原理有着巨大的美学价值，当维格纳在1927年和1932年把它们引进量子力学时，其美学价值更为突出 [Wigner 1928 & 1932]。鉴于这些对称性的权威性，人们常常用它们来检验物理学理论。例如，当外尔在1929年为零质量、自旋1/2的粒子提出一个波动方程时，泡利(Wolfgang Pauli)就拒绝接受这个方程，认为它“对于物理实在是不适用的”[Weyl 1929; Pauli 1933, p. 226]。泡利的否决不仅是因为自然界不存在零质量和自旋是1/2的粒子，更重要的是外尔的方程不满足宇称守恒。在他和大多数其他物理学家看来，外尔的方程在美学上是不令人满意的[31]。自然定律的对称和守恒性质这个强烈的美学信念，始终指引着泡利的研究。这个信念使他拒绝接受外尔的方程，也使他不信任支持宇称不守恒的证据。这些证据是1956-1957年间由李政道、杨振宁、吴健雄和其他人提出来的[32]。泡利对宇称守恒的坚定信念妨碍了他的科学想象力。
与大多数人相反，狄拉克并不钟情于守恒原理，他的美感与泡利不同。在早期的工作中，他只有一次讨论过守恒，而且是以一种非正统的方式。在1937年一篇鲜为人知的论文中，他提出了由维格纳先前引入到量子力学中的时间(或者运动)反演的概念 [Wigner 1932]。和维格纳一样，他利用一个反演算符，这个算符改变动量和自旋的符号但保持位置和能量不变。然而，他并不把这个算符看作是基本的，并因此引入了与经典时间反演并不对应的另一个反演算符。狄拉克的算符具有相对论性不变性，而且是同时改变了动量、自旋和能量的符号。当他把这个算符应用到他的空穴理论中时，他在一个粒子的正能态和负能态之间找到了一种完美的对称性。他写道：“任何被占据的正能态总是和一个未被占据的负能态或者空穴一起出现，两者共同代表了同一物理实在。因此，我们就得到了这样一个理论，其中以负能分布的空穴和普通的正能粒子在物理上是一回事情。”[Dirac 1937b, p. 81]
“似乎可以公正地说，在1957年之前写的关于基本粒子物理、核物理和量子力学的任何一本教科书中，都包含有对宇称守恒的叙述，”阿兰·富兰克林(Alan Franklin)在他详尽研究宇称守恒历史的著作中这样说 [Franklin 1986, p. 24]。然而，值得注意的是，狄拉克的《量子力学原理》是个例外，而且没有被富兰克林注意到。当派斯(Abraham Pais)1959年问狄拉克，他为什么不把宇称写进他的教科书时，他直截了当地回答说：“因为我不相信它。”[Pais 1986, p. 25] 他唯一一次明确地表达自己关于宇称守恒的异端观点是在1949年，那时宇称和时间反演守恒几乎被所有的物理学家认为是理所当然的。他那时写道：
这种类型的变换(非齐次洛伦兹变换)可能包括3维空间坐标系的反射和时间反射。……我不相信有任何必要使物理定律在这些反射下保持不变，尽管目前所知的所有精密的自然定律的确具有这种不变性。[Dirac 1949, p. 393]
1956年，弱相互作用中宇称不守恒被揭示出来了；1967年，在中性K介子衰变过程中时间反演不严格守恒也被发现了。上面提到的这个案例不能看作是对狄拉克–外尔观点的支持。恰恰相反，它表明了在科学中美学原理的武断性。对宇称和时间守恒的深刻美学信念，并未为狄拉克所接受，他不加论证就径直认为它不是基本的。宇称不守恒被确立之后，物理学中的美学标准也发生了变化。在这里应当提到的是，狄拉克在后来的工作中开始研究起对称不变性问题，这个问题与沿着外尔的思想路线而发展起来的1973年的宇宙学理论相关。不过，这是宇宙学和广义相对论框架中的问题，与量子理论中的C、P、T不变性没有直接关联。
如果要对数学美原理的科学价值在狄拉克职业生涯中所起的作用下一个结论的话，我觉得可以作如下概括。他的许多最重要的结果都是他信奉数学推理能力的成果；但数学美原理，在其更精致的意义上，被证明是狄拉克事业上的一个失误。特别是，他始终坚持利用它去表述一个另类的量子电动力学，而所有这些努力，就我们所知，都以失败而告终。在狄拉克的科学生涯当中，30年代中期是一个分水岭：他的所有伟大发现都是在此之前作出的，1935年之后他鲜有大的作为。值得指出的是，仅仅是在后一阶段，数学美原理才支配着他的思维。
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