数理逻辑大师们（上）
2015/9/19 哲学园
小庄编：回顾计算机科学的发展，我们可以清晰地发现，数理逻辑一直是计算机科学的理论基础和发展动力。如果没有这些数理逻辑学家的工作，没有这些计算机科学大师的工作，我们就没有电脑，也就没有网络，我们今天就不能在这里用电脑玩游戏上网收发邮件QQ聊天之类。所以，应该向这些大师致敬!他们是莱布尼兹(同时也是哲学家物理学家)，弗雷格(同时也是分析哲学的创始人)，希尔伯特(上世纪的大数学家)，哥德尔(两个不完全定理提示了人类智力的限度)，邱奇(递归论的创始人)，图灵(图灵机的创始人现代计算机科学的创始人)，麦卡锡(人工智能之父同时也是非经典逻辑的发展者)，霍尔(公理语义学的创始人用逻辑来分析程序理论)
莱布尼兹
出生于书香门第的莱布尼兹是德国一位博学多才的学者。他的学识涉及哲学、历史、语言、数学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域。并在每个领域中都有杰出的成就。然而，由于他独立创建了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。莱布尼兹对微积分的研究始于31岁，那时他在巴黎任外交官，有幸结识数学家、物理学家惠更斯等人。在名师指导下系统研究了数学著作，1673年他在伦敦结识了巴罗和牛顿等名流。从此，他以非凡的理解力和创造力进入了数学前沿阵地。
牛顿从运动学角度出发，以“瞬”(无穷小的“0”)的观点创建了微积分。他说dx和x相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。在其积分法论文中，他从求曲线所围面积积分概念，把积分看作是无穷小的和，并引入积分符号∫，它是把拉丁文Summa的字头S拉长。他的这个符号，以及微积分的要领和法则一直保留到当今的教材中。莱布尼兹也发现了微分和积分是一对互逆的运算，并建立了沟通微分与积分内在联系的微积分基本定理，从而使原本各处独立的微分学和积分学成为统一的微积分学的整体。
莱布尼兹是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动，”正像印度--阿拉伯数字促进算术和代数发展一样， 莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展，莱布尼兹的巧妙符号功不可灭。除积分、微分符号外，他创设的符号还有商“a/b”，比“a:b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”以及函数和行列式等符号。
牛顿和对微积分的创建都作出了巨大的贡献，但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有求积概念，后有导数概念。除此而外，牛顿与莱布尼兹的学风也迥然不同。作为科学家的牛顿，治学严谨。他迟迟不发表微积分著作《流数术》的原因，很可能是因为他没有找到合理的逻辑基础，也可能是“害怕别人反对的心理”所致。但作为哲学家的莱布尼兹大胆，富于想象，勇于推广，结果造成创作年代上牛顿先于莱布尼兹10年，而在发表的时间上，莱布尼兹却早于牛顿三年。
虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业，光荣应由他们两人共享。然而在历史上曾出现过一场围绕发明微积分优先权的激烈争论。牛顿的支持者，包括数学家泰勒和麦克劳林，认为莱布尼兹剽窃了牛顿的成果。争论把欧洲科学家分成誓不两立的两派：英国和欧洲大陆。争论双方停止学术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及自然科学领域，以致发展到英德两国之间的政治摩擦。自尊心很强的英国民族抱住牛顿的概念和记号不放，拒绝使用更为合理的莱布尼兹的微积分符号和技巧，致命英国在数学发展上大大落后于欧洲大陆。一场旷日持久的争论变成了科学史上的前车之鉴。
莱布尼兹的科研成果大部分出自青年时代，随着这些成果的广泛传播，荣誉纷纷而来，他也越来越变得保守。到了晚年，他在科学方面已无所作为。他开始为宫廷唱赞歌，为上帝唱赞歌，沉醉于研究神学和公爵家族。莱布尼兹生命中的最后7年，是在别人带给他和牛顿关于微积分发明权的争论中痛苦地度过的。他和牛顿一样，都终生未娶。1761年11月14日，莱布尼兹默默地离开人世，葬在宫廷教堂的墓地。
Fuleige 弗雷格
(F.L.)G. Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848～1925)
德国数学家、逻辑学家。1848年11月8日生于德国维斯马,1925年7月26日卒于巴德克莱茵。1873年毕业于格丁根大学，获博士学位。1874年起即在耶拿大学任讲师，1879年任教授，1918年退休。在耶拿大学执教的四十余年间，致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究。
弗雷格于 1879年出版了《概念语言》一书，所谓“概念语言”是一种表意语言，用它进行推理最易于察觉隐含的前提和有漏洞的步骤。由于弗雷格认为算术定理可由纯逻辑规律出发证得，为了保证推理过程的绝对严格性，他特地建立了这一符号语言。他成功地引入了数学中的函数概念，建立了量词理论。这样就构作了一种基本自足的逻辑演算即一阶谓词演算。从而给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统。嗣后，他又出版了《算术基础》(1884)和《算术的基本规律》 (卷I,1893；卷Ⅱ，1903)。在这些著作中他首创从逻辑出发来定义数和自然数，并从逻辑规律出发推导出一系列算术定理。尽管弗雷格明确地提出了数学可以化归为逻辑的思想，但没有全面地进行从逻辑推导数学的研究，因而他未能象B.A.W.罗素和A.N.怀特海在《数学原 理》中那样精详论证、充分展开逻辑主义的纲领(见数 学基础)，但弗雷格仍不失为逻辑主义的创始人之一。 逻辑主义的主要代表人物罗素，甚为称颂弗雷格的工作。 弗雷格晚年从事数学哲学和逻辑理论的研究。
(徐云从)
弗雷格
大连理工大学 杜瑞芝
弗雷格，F.L.G.(Frege，Friedrich Ludwig Go-ttlob)1848年11月8日生于德国维斯马(Wismar)；1925年7月26日卒于巴德克莱茵(Bad Kleinen).数学、逻辑学、哲学.
弗雷格出生的年代正值德国民主革命开始.维斯马是一个远离德国政治中心的小商业城镇，革命风潮对这里影响很小.弗雷格出生在一个信奉路德教的中产阶级家庭，在血统上是混杂的(部分是德国的，部分是波兰的).其父亚历山大?弗雷格(AlexanderFrege)开办了一所女子学校.他去世后这所学校就由他妻子来管理.1869年，母亲奥古斯特?弗雷格(Auguste Frege)送弗雷格到耶拿大学就读.当时弗雷格就把数学作为自己的主要兴趣，但也选修了化学、物理和哲学.他的老师——数学家、物理学家E.阿贝(Abbe)及时发现了他的才能，成为他毕生信念的支持者.在阿贝的帮助下，他离开耶拿，来到格丁根大学继续深造.1873年，在数学家E.谢林(Schering)的指导下，弗雷格以论文“论平面上虚影的几何图形”(Ueber eine geometrische Darstellung derim ginaren Gebilde in der Ebene)获得哲学博士学位.该论文通过对平面上虚影图形性质的讨论，阐明了几何学基于直觉的观点.他在格丁根还参加了著名哲学家R.H.洛采(Lotze)的讲座.洛采的逻辑观念，特别是他对纯逻辑的看法，对弗雷格逻辑思想的形成有着重要的影响.
弗雷格在格丁根大学获得博士学位之后，又回到耶拿大学.在阿贝的帮助下，他于1874年以论文“基于量值概念外延的演算方法”(Rechungsmethoden，die sich auf eine Erweitung desGr ssenbegriffes gr nden)获得了无薪大学讲师的资格①.在这篇论文中，弗雷格提出了用于运算的量值概念，并断言算术真理产生于量值概念.1879年，弗雷格的《概念语言》问世之后，他又一次在阿贝的推荐下成为耶拿大学的编外教授.1896年成为荣誉教授.弗雷格在耶拿大学执教40余年，讲授过数学的各分支学科及有关的逻辑系统，举办过“概念符号”讲座，他一直致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究.1918年退休.
弗雷格首先是作为一位数学家和逻辑学家而闻名于世的.他在数学上的主要成就，是使自C.F.高斯(Gauss)以来所建立的数学体系更精确和完善，确立了算术演算的基本规则.他第一个建立了初步自足的命词演算系统和量词理论，首次提供了现代意义下的数理逻辑的一个体系，因而成为数理逻辑的奠基人.他提出数学可以化归为逻辑的思想，成为逻辑主义的创始人.弗雷格还是一位杰出的哲学家.他的绝大部分著作都具有明显的哲学特征.他认为：“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家.”他直接把传统哲学对思维内容和认识能力的探讨，转向对语言表达形式和语言内部框架的考虑.他认为对语言意义的分析，是哲学研究的主要任务.弗雷格对哲学任务的重新规定，标志着当代西方分析哲学的开端.因此他被誉为当代分析哲学的真正奠基者.
弗雷格的主要著作有：《概念语言》、《算术的基础》、《函项与概念》(Function und Begriff，1891)、《论意义和所指》( ber Sinn und Bedeutung，1892)、《论概念和对象》( berBegriff und Gegenstand，1892)、《算术的基本规律》1—2卷(以下简称《基本规律》).
弗雷格的科学生涯大致可以分为五个时.
在第一个时期，弗雷格主要从事纯逻辑的研究.其研究成果总结在1879年出版的《概念语言》中.用数学方法研究逻辑问题，一般认为是由G.W.莱布尼茨(Leibniz)提出的文字学设想开始.他提出过有关思维演算的思想.莱布尼茨的这种先驱性想法没有及时得到应有的发展.在淹没了一个世纪之后，19世纪英国的两位数学家A.德摩根(De Morgen)和G.布尔(Boole)用代数的方法建立了逻辑代数.但这种逻辑代数与亚里士多德(Ar-istotle)的形式逻辑本质上是相似的.在1874—1879年间，弗雷格攻读了布尔学派和一些哲学逻辑学家的著作.除上文提到的洛采外，18世纪德国哲学家A.特伦德伦堡(Trendelenburg)的著作对弗雷格也有较大的影响.通过特伦德伦堡的工作使弗雷格了解到莱布尼茨关于逻辑语言的观点.弗雷格还追随特伦德伦堡，把他的逻辑符号系统称作“概念语言”.弗雷格用心研究莱布尼茨和I.康德(Kant)的逻辑学和数学哲学方面的著作，有选择地接受了两位哲学家的思想.在弗雷格晚年，他是这样描述自己的研究动机的：“我开始是搞数学.在我看来，这门科学急需更好的基础：……语言逻辑的不完善对这种研究是一种障碍.我在《概念语言》中寻求弥补.所以，我就从数学转向了逻辑.”
经过5年的沉思，弗雷格完成了一部划时代的著作——《概念语言》.在这本书里，弗雷格把从洛采和特伦德伦堡，以及从莱布尼茨和康德那里得到的观点，变成一种全新的逻辑.这本不足80页的小书是弗雷格的不朽之作.弗雷格在此建立的逻辑有效地终结了亚里士多德逻辑两千多年来一直占据的统治地位，完成了始于几百年前G.伽利略(Galilei)破除亚里士多德物理学的进程.在《概念语言》中，弗雷格创造了一种表意的语言，即“纯粹思想的语言”.正如他在这本书的副标题中所说——它可以使我们完全精确地表达判断的概念内涵.弗雷格认为，真理分为两种，一种真理的证明必须以经验事实为根据，例如物理学中的定理.另一种真理的证明似乎可以纯粹从逻辑规律出发.他认为算术命题就是属于后一种的.在探讨如何根据思维的逻辑规律经过推理以得到算术命题时，必须绝对严格，要防止未被查觉的直观因素渗入，因此必须使推理过程没有漏洞.他觉得日常语言是表达严密思想的障碍.当所表达的关系越复杂时，日常语言就越不能满足要求.因此他创造了这种概念语言.他说，用这种语言进行推理，最有利于觉察隐含的前提和有漏洞的步骤.这种语言和日常语言相比，就好像机械手和人手相比，或者像显微镜和肉眼相比一样.利用这种语言，弗雷格成功地构造了一个严格的逻辑演算体系.下面简要介绍一下弗雷格逻辑演算的内容.
1.弗雷格严格区别了命题的表达和断定.他认为，我们只有能够表达一个思想，理解一个思想，才能对它加以断定.他引进断定符号“├”.“├┌”表示“┌是被断定的”.其中垂直短线“｜”称为判断短线，水平短线“—”称为内容短线.“—┌”是一个整体，它只表达可断定的内容，即命题的表达.而“├┌”才表示命题的断定.如“├┌”表示“不同的磁极相互吸引”这一断言，而“—┌”只是表达了不同磁极相互吸引这一思想，而对这一思想的正确性没有任何判断.
2.弗雷格明确提出真值蕴涵的思想并指出它与日常语言的区别.他采用否定和蕴涵作为基本的逻辑联结词.他用小竖线“ ”放在内容短线下面表示否定.“┬┌”表示“非┌”.符号 表示“△蕴涵┌”.他列举了┌和△的四种可能的真值组合：(1)┌肯定，△肯定；(2)┌肯定，△否定；(3)┌否定，△肯定；(4)┌否定，△否定.用符号“ ”表示以上第三种可能不实现而其余三个可能性中的每一个都可实现.弗雷格说，当┌为真时，△蕴含┌常可被断定，在此情形下，△可以是任一命题，其具体内容完全无所谓.┌和△不必有因果关系，与日常语言中的“如果……则”不同.
3.弗雷格引进一个内容同一的符号.设┌和△为任意名称，即不一定是命题记号，他规定，“├(┌≡△)”的意思是“名称┌和名称△有相同的概念内容，使得┌总是能由△替换，反之亦然”.他还指出，由他的新符号所联结的名称不仅代表它们的内容而且代表名称自身.后来，他改用符号“=”，“=”不被看成两个名字之间的关系，而是看成名字的指称之间的关系.“=”用于专门的指称，相当于等词；用于命题的指称(真值)，则相当于现在的等值符号.
4.弗雷格把数学中的函数概念引入逻辑演算，从而建立了量词的理论.他采用变目和函项两个术语，┌表示变目，记号Φ(┌)表达变目┌的一个不确定的函项.记号Ψ(┌，△)表达按顺序所取的两个变目┌和△的一个函项.假定如下一种函项：当它由变目填满时，它表达可能的判断内容.于是，“├Φ(┌)”读作“┌有性质Φ”，“├Ψ(┌，△)”读作“┌与△有关系Ψ”.弗雷格使用这种符号的主要优点是，它能够比普通语言所提供的方式更令人满意地表达一般性.在此基础上，弗雷格引进了全称量词和存在量词
表示“不管怎样取函项的变目，函项总是一个事实”.即“凡a都是Φ.在这里，全称量词是基本概念，存在量词则通过全称量词而表达为
它表达“至少有一个a是Φ”.
5.弗雷格建立了9条公理，用现代的符号表示为：
(1)├a→(b→a)，(2)├(c→(b→a))→((c→b)→(c→a))，(3)├(d→(b→a))→(b→(d→a))，(4)├(b→a)→(┐a→ ┐b)，(5)├ ┐┐a→a，(6)├a→ ┐┐a，(7)├(c=d)→(f(c)→f(d))，(8)├c=c，
公理以外有四条变形规则：
(2)代入规则，弗雷格使用了但没有严格地陈述.
假定a并不在表达式Г中出现，而且a仅处于Φ(a)的变目空位中.
a不在┌和△中出现，Φ(a)中的a只处于变目空位中.事实上，这条规则是第三条规则的推广.
弗雷格在上述公理和规则的基础上，进行了大量的推演，成功地构造了一种基本自足的逻辑演算，从而给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统——现代的逻辑系统.它实质上包含了作为现代数理逻辑基础的两个演算系统——命题演算系统和一阶谓词演算系统.
不幸的是，弗雷格这本划时代的小册子被数学家和哲学家们忽视了.他在《概念语言》中建立的新逻辑没有马上被人理解.其中使用复杂而陌生的符号来表达新奇的概念，确使读者望而生畏.德国数学家E.施罗德(Schrder)发表长篇文章，对该书进行全面批评.事实上，直到B.A.W.罗素(Russell)1901年开始发现弗雷格著作的价值之前，《概念语言》几乎没有读者.
《概念语言》出版之后，弗雷格的创造生涯进入第二时期.在这一时期，弗雷格开始形成逻辑主义的观点.在最初几年，他由于自己的著作没有受到重视而大受挫折，没有发表任何作品.但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲学和数学观点，并逐渐形成了他的数学哲学的三个主要原则：第一，他反对在数学基础问题上的经验主义，否认数学来源的经验基础，强调数学真理的先天性；第二，他认为数学真理是客观的，这种客观性基于数学的非经验的基础.在他看来，客观性是思想的必要条件；第三，他主张一切数学最终都可化归为逻辑，数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念，数学公理可以从逻辑原则中得到证明.这第三条原则后来被罗素作为逻辑主义的基本主张而广为传播，弗雷格因此成为逻辑主义的创始人之一.
弗雷格在《算术的基础》中力图作为逻辑的延展去建立数学.为此，首先要从逻辑推出算术.为使大家能够理解他的著作，他对自己的观点及关于数和算术所流行的各种哲学观点作了非形式的说明.然后他指出，要从逻辑推出算术，首先必须给出数和自然数的定义.
弗雷格接受他的前辈的观点：所有大于1的自然数可由指出它们的前趋即用“2=1+1”，“3=2+1”一类等式来定义.但他认为，这些定义是不完全的，因为使用了“数1”和“加1”这两个未定义的概念.他考察了从欧几里得(Euclid)到G.康托尔(Cantor)以来的许多数学家的著作，发现关于数的定义是相当混乱的.他指出在此之前所见到的一切关于数的定义都含有基本的逻辑错误.他说：“数是什么？这是一个最根本的问题.如果我们对这个问题都不能做清楚的回答，岂不是一个笑话？”又说：“数学的本质就在于，一切能证明的都要证明，而不是通过归纳法来验证.因此，我们也应考虑如何来证明关于正整数的命题.”
弗雷格发展了《概念语言》中关于数学序列的理论.在那里他用“遗传性”定义了“y属于从x开始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，为自然数的定义和说明数学归纳法作了理论和技术上的准备.弗雷格给出的自然数的定义的核心在于使用了“一一对应”的概念：属于两个概念F和G的对象借助于关系Φ一一对应，如果(1)每一个属于概念F的对象对于属于概念G的一个对象，有关系Φ；(2)对于属于概念G的每一个对象，存在一个属于概念F并与前者有关系Φ的对象；(3)对所有x，y和z而言，如果x对y和z有关系Φ，那么y和z就是同样的；(4)对所有x，y和z而言，如果x和y对z有关系Φ，那么x和y就是同样的.
弗雷格在此基础上构造了以下三个定义：
(1)“概念F与概念G是等数的”与“存在一个关系Φ，使得属于概念F的对象与属于概念G的对象一一对应”其意义是相同的.
(2)属于概念F的数是“与概念F等数”这一概念的外延.
(3)“n是一个数”与“存在一个概念使得n是属于它的数”其意义是相同的.
接着他又定义了“n在自然数序列中是m的直接后继”：“存在一个概念F和一个归于它的对象x，使得属于概念F的数是n，属于概念‘归于F但不同于x’的数是m”.这实质上是后继函数的定义.
在这些工作的基础上，弗雷格取0作为数列的起点，提出如下定义：
0是属于概念“不同于自身”的数，1是属于概念“同于0”的数，2是属于概念“同于0或同于1”的数，3是属于概念“同于0或同于1或同于2”的数，……
可见，1在自然数序列中是0的直接后继，2在自然数序列中是1的直接后继，等等.
事实上，弗雷格所用到的“一一对应”概念与康托尔所谓的集合的“等价”意义是一样的，弗雷格指出，他的数与康托尔理论中集合的“势”或“基数”是相同的.两个概念同数，就是两个集合等价.概念“与概念F等数”的外延，就是与集合F等价的一切集合构成的集合.所以弗雷格实际上是把数定义为集合的集合，或类的类.利用康托尔的语言，概括弗雷格关于数的定义：
(1)一个集合的基数是所有等价于它的集合的集合.
(2)0=df?{^}(空集合的单元集)
1=df?{0}
2=df?{0，1}
3=df?{0，1，2}
弗雷格的后续函数的定义实际上是说：后续函数把等价集合的集合m映射到一个新的集合的集合Φ(m)(即n)，Φ(m)中的每一个集合是由在m中的某一个集合加上一个新分子而得到.
由此可见，自然序列中的每一个数，有一个直接后继的数.这样，自然数就由0和后继函数而确定下来.
有逻辑学家评论，弗雷格的这个定义系统是哲学技巧中极其卓越的成就.人们也很容易理解，为什么弗雷格认为他至少使得算术化归为逻辑是可能的.
在《算术的基础》的最后几页，弗雷格指出，其他类型的数，也可以用类似的方式加以定义.实数和复数同样可以刻画为概念的外延.在《基本规律》的第二卷中，他阐明了这个方案是如何实施于实数的.
康托尔在1884年也给出数的定义，但弗雷格的定义比康托尔的更为精确.
弗雷格从逻辑出发定义了数和自然数，他对自然数的归纳定义也是对数学归纳法的最好说明.他认为，借助于上述定义，自然数的概念就被化归成了逻辑的概念；自然数的理论则可以借助于上述定义和逻辑得到建立，这样，算术理论就被“逻辑化”了.
弗雷格在他的第三时期集中精力写作《基本规律》.原计划写三卷，实际上只完成两卷(1893，1903).弗雷格准备在这部专著中，从逻辑出发去展开除了几何学以外的全部数学.他认为，逻辑的原则是完全可靠的，一旦完成了上述工作，数学“就被固定在一个永恒的基础上了.”
1893年，出版了《基本规律》第一卷，它是《算术的基础》的理论的严谨发展，书中改进了《概念语言》符号系统，提出了不同的公理，阐述了高阶谓词演算.从《概念语言》到《基本规律》，弗雷格的逻辑发生了三个主要变化：(1)他在自己的系统中加上了函项的值域这一概念；(2)区分了意义的两个方面，即“所指”和“意义”；(3)更为严格地规定了与对象相对的函项的性质，明确提出了“第一层函项”和“第二层函项”的区别.第一层函项就是以前所定义的函项，其变目是对象，第二层函项就是函项的函项，其变目是函项，例如在Mβ(F(β))中，Mβ就是第二层函项，其变目是F.弗雷格还把概念分为第一层概念和第二层概念.这些逻辑上的变化在《基本规律》第一卷之前的5篇文章①中就已经提出并作了解释.
弗雷格在《基本规律》第一卷中建立了另一个逻辑系统——二阶谓词演算，提出了新的公理.他用‘xF(x)代表F(x)的值域，例如，若F(x)表达“x是人”，则它的值域‘xF(x)就表达“人类”.他还引进代表定冠词的函项符号＼x.如＼’xF(x)读为“那个具有性质F的x”.用现在的符号表示弗雷格的新公理如下：
在这个新系统中，除分离规则和代入规则之外，弗雷格还把原来系统的一些公理和定理作为新的推理规则.在这一系统中处理了命题演算，谓词演算，类理论和关系理论，更重要的是进行了推导算术的工作.
《基本规律》第一卷出版后，再次受到冷遇.只有G.皮亚诺(Peano)在1895年作了评述，但他对这本书的内容没有足够的理解.这再一次使弗雷格深感痛苦.然而，弗雷格并没有放弃自己的目标，他继续撰写《基本规律》第二卷，其中主要论述实数的理论，并用较多的篇幅批评当时流行的观点.
但是，弗雷格并没有完成他的计划.因为要理解数学科学的性质，除了算术以外，还必须考虑无穷集合的理论——集合论.弗雷格没有深入研究集合论，没有接触到关于无穷集合的各种问题，特别是悖论问题.1902年，正当弗雷格等待《基本规律》第二卷付印的时候，他收到了罗素6月16日写给他的信.信中首先称颂他的工作：“就我所知，您的工作是我们时代中最好的.”“在许多具体问题上，我发现您的著作都进行了讨论、区分和定义，这使其他逻辑学家的工作黯然失色.”具有讽刺意味的是，罗素的来信既标志着弗雷格的工作开始得到承认，也宣告了他的独创性工作的终结.因为罗素在他的信中接着写道：
“只有在一点上我遇到了困难①，……由于下述矛盾：令W为不能论断自身的谓词的谓词，W可以论断自身吗？每种回答都隐含着它的否定①，因而人们必须得出，W不是一个谓词.同理，没有不包含自身的作为整体的类的类.由此我得到，在某种条件下，一个可定义的集合没有构成一个整体.”
罗素当时并没有完全认识到他的发现是怎样严重地威协着弗雷格的逻辑主义纲领.但是，弗雷格本人毫无疑问地认识到这个矛盾的潜在致命力.他对罗素来信的反映迅速而强烈，他马上复信[15]：
“您发现的矛盾引起了我极大的震惊，我几乎可以说是惊愕不已，因为它动摇了我建立算术基础的企图，……我的《基本规则》第二卷看来是有缺陷的.我无疑要补充一个附录，对您的发现作出论述.”
在1903年，弗雷格出版了带有一个后记(写于1902年10月)的《基本规则》的第二卷.他在后记中不无悲哀地写道：
“对于一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了.正当本书的印刷接近完成之际，伯伦特?罗素先生给我的一封信使我陷入这种境地.这封信是关于我的公理V的问题.我本人从来没有掩盖这条公理缺乏其他公理所具有的并必为逻辑规律所正当要求的自明性.……
成为问题的恰恰不是我建立算术的特殊方式，而是算术是否完全可能有一个逻辑基础.”
弗雷格的第四时期是在极度消沉中度过的.这一时期长达十几年.最初，他相信能有补救的办法使他的系统避免矛盾.他首先提出一种设想：可能有一些概念没有相应的类.然后他用修改第Ⅴ公理的办法来阻止罗素悖论的衍生.但是，后来逻辑学家的工作证明，他所做的努力并不足以使他的系统避免不一致.他还打算论述集合论的逻辑悖论(1906).经过几年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能够找到解决矛盾的办法.虽然他没有公开放弃自己的主张，但也不再做进一步的努力.至到1918年，弗雷格才彻底放弃把算术化归为逻辑的一切希望，放弃了《基本规律》第三卷的写作计划.从此以后，他又进入了新的研究时期.他的研究兴趣仍在数学基础上，并很自然地转向几何学，提出了几何学是整个数学的基础的主张.弗雷格在1903年以后发表的论著很少.
虽然弗雷格的逻辑主义纲领没有实现，但是他的独创性工作对数学和哲学的发展都产生了重要影响.他的成就在有生之年没有得到广泛的承认，只是通过少数几位有洞察力的人的努力，他的思想才逐渐得到理解，并通过他们的工作得到发展.
首先认识到弗雷格工作重要性的是罗素.罗素在他的《数学原理》(Principles of mathematics，1903)的附录中，对弗雷格的逻辑进行了深入细致的研究，对弗雷格的从《概念语言》到《基本规律》第一卷等论著作了广泛详尽的评论.罗素发展了弗雷格的思想，他和A.N.怀特海(Whitehead)在《数学原理》(Principia mathematica，1910)中精详论证，充分展开了逻辑主义纲领.书中可以看出弗雷格的明显影响，甚至罗素与弗雷格不同的观点也是受到弗雷格著作中难点的启示而提出的.罗素表示：“在逻辑分析问题上，我们主要是从弗雷格获得教益.”稍后，罗素的学生和朋友L.维特根斯坦(Wittgenstein)成为弗雷格的崇拜者.这位20世纪的著名思想家明确指出，他的哲学工作的两个来源是“弗雷格的巨著和我的朋友罗索的著作”.30年代末期，由弗雷格本人的学生L.卡尔纳普(Carnap)以及美国逻辑学家A.丘奇(Church)的倡导，弗雷格的逻辑理论，特别是关于意义和所指的学说重新引起人们的研究兴趣[27].1950年，《算术的基础》英译本出版，在使用英语的数学家中产生很大影响.
1918年以前，弗雷格一直安静地生活在耶拿这座小小的大学城内.他身材矮小，性格胆怯羞涩.弗雷格的工作长期得不到理解和承认.一般认为，他的著作对于大多数数学家来说是过于哲学化了，而对大多数哲学家来说又过于数学化了.弗雷格的著作长期受到冷遇，在相当长一段时间内，哲学杂志和数学杂志都拒绝发表他的论文.由于得不到专业上的承认，他在耶拿大学当了好多年的编外教授.弗雷格还经受了长远计划失败的体验.所有这一切使他变得比较内向.他长期远离自己的数学和哲学同事.但是，弗雷格全心全意追求真理，从不追求个人名声；他屡受拙折而不放弃自己的奋斗目标；他勇于承认自己的失败并另辟蹊径提出新的主张.弗雷格这种追求真理的执著精神和科学态度值得后人学习.
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～1943)
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授,1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于是930年退休。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢干公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世了。
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案!你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”希尔伯特的《几何基础》(1899)是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.Gödel，1906～1978)获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》(三卷，其中包括他的著名的《数论报告》)、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》
希尔伯特问题研究进展
问题 推动发展的领域 解决情况
1.连续统假设 公理化集合论 1963年,Paul J.Cohen[美国]在下述意义下证明了第一问题是不可解的,即:连续统假设的真伪不可能在Zermelo-Fraenkel公理系统内判明。
2.算术公理的相容性 数学基础 Hilbert证明算术公理相容性的设想,后来发展为系统“Hilbert计划”,但1931年Godel的“不完备定理”提出用“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题至今尚未解决。
3.两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快(1900年)即由Hilbert的学生M.Dehn给出肯定解答。
4.直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这问题提得过于一般。Hilbert之后,许多数学家致力于构造和探讨各种特殊的度量几何,在研究第四问题上取得很大进展,但问题并未完全解决。
5.不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力,这个问题于1952年由Glenson、Montgomery、Zippin等人[美国]最后解决,答案是肯定的。
6.物理公式的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等部门,公理化方法已获很大成功,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需探讨的问题。至于概率论的公理化,已由A.H.K o лМ o r o p oB[前苏联,1933]等人建立。
7.某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年,A.O.г e M ж o H д[前苏联]和Schneider[德国]各自独立解决了这问题的后半部分,即对于任意代数数α≠0,1和任意代数无理数β≠0证明了α攩β攪的超越性,1966年这一结果又被A.Baker等人大大推广和发展了。
苹果树下的散步
欧洲有个古老的传说：一辆著名的战车，被一根山茱萸树皮编制的绳索牢牢地捆住了。你要想取得统治世界的王位吗？那就必须解开这个绳结。无数聪明、强悍的勇士满怀希望而来，垂头丧气而去，因为绳结盘旋缠绕，绳头隐藏难寻。一天，亚历山大也慕名来到这里，他略略思索一下，便果断地抽出宝剑，一剑把绳截成两段。难解的绳结就这样轻而易举地被“解开”了。亚历山大因此享有对整个世界的统治权。
1888年9月6日，人们惊喜地获悉：十多年来许多数学家为之奋斗的著名难题——果尔丹问题，终于被一位当时尚名不见经传的青年人攻克了。他运用的方法和途径是那样的出人意料、令人折服，就像亚历山大解开绳结一样；也正如这位显赫的君主在辽阔的欧亚大陆上留下旷世战功，这位年轻人穷尽毕生心血和才华，在广阔的数学领域里纵横捭阖，遍及现代数学几乎所有的前沿阵地，在整个数学的版图上，到处都刻下他那光辉的名字。他就是数学世界的亚历山大——大卫?希尔伯特!
哥尼斯堡是德国一座古老而美丽的城市，康德、哥德巴赫是这座城堡的荣誉和骄傲，著名的七桥问题更使之名扬欧洲。1862年1月23日，希尔伯特就诞生在这座富有学术传统的城市里。受家庭的熏陶，早在中学时代，希尔伯特对数学就表现出浓厚的兴趣，并立志把数学作为自己奋斗的专业。
1880年秋，希尔伯特进入哥尼斯堡大学。这里的学术空气浓厚而且自由，非常适宜希尔伯特的生活习性和学习要求。这段时间内，他同两位年轻的数学家的交往使他受益终生。一位是比他大3岁的胡尔维茨，在希尔伯特还是学生时，这位见多识广的青年就已是副教授；另一位是闵可夫斯基，虽比希尔伯特小两岁，但已荣获巴黎科学院大奖而名扬国际。他们三位一体，情投意合。他们每天下午“准5点”相会于校园旁边的苹果树下，互相交流彼此的学习心得、制订计划、探索未知领域。对于每一个重大问题，他们总是分头准备、认真思考，并各抒己见，有时也会争得面红耳赤。据说，曾有一位前来哥尼斯堡大学访问的外地学者，这天偶然经过苹果园，忽然听到里面传出几个人互不相让的争吵声，他驻足而观，发现三位年轻人比比划划，旁若无人。这位好心的人觉得有必要去劝解一下，但马上就知道自己的担心是多余的。那正是希尔伯特三人在讨论问题。
苹果树下的小路清晰地向远方延伸。他们通过日复一日的无数次散步，漫游了数学世界的每一个角落。这种数学家们特有的学习方式给他们其中的每一位带来了希望、成功和友谊。
苹果树下的散步使希尔伯特利用有趣而又容易接受的学习方式像海绵吸水那样接受数学知识，并以最简洁、快速的方法到达数学研究的前沿阵地。胡尔维茨渊博、系统的知识，闵可夫斯基快捷、灵敏的思维，无不令希尔伯特如醉如痴，也激励着他更加如饥似渴地学习、思考。这段时光为希尔伯特打下了牢固而全面的基础，他也因之能在以后的岁月里频频出击，并获得数学麦加——哥廷根大学的教授席位。
善疑名问会将学习引向深入，开放性的学习方式有利于塑造创造性的品质，相互影响、彼此促进的环境是培养人才群体的基本要素。这是“苹果树下的散步”给予的启迪。难道我们今天的教育、教学就不可以有所借鉴吗?
哥德尔
中国科学院软件研究所 张锦文
哥德尔，K.F(G del，Kurt Friedrich)1906年4月28日生于奥匈帝国的布尔诺(今属捷克斯洛伐克)；1978年1月14日卒于美国普林斯顿.数学、逻辑学、数学哲学.
哥德尔的父亲在青年时代即从维也纳迁移到兴旺的纺织工业基地布尔诺定居，他富有自力更生的创业精神，后来成了那里一家主要纺织厂的管理方面的领导者.哥德尔的母亲一家由莱茵河地区到布尔诺从事纺织工业，她曾在布尔诺一所法语学校读书，受过较好的教育，她终生对文化事业保持兴趣，她生育了哥德尔兄弟二人，哥德尔的哥哥比他大四岁，后来成了一位放射学家.
哥德尔有一个幸福的童年，但他胆小又爱吵闹，在六七岁时患了急性风湿性关节炎，危害了他的健康，特别是影响了他的心脏.他的才智很早就显露出来了.由于他经常提出各式各样的问题，家里人常称他为“为什么先生”(Mr Why).1912年，他六岁时进入布尔诺的巴黎学校上学.从1916年到1924年，他的学习成绩优秀，特别是在数学、语言和神学方面表现尤为突出.
第一次世界大战直接影响了哥德尔及其家庭，虽然布尔诺地区远离战争前线，但战后，1918年奥匈帝国解体了，出现了新国家：奥地利、捷克斯洛伐克、匈牙利等.1924年哥德尔毕业于布尔诺大学预科，然后到维也纳大学学习.当时，维也纳作为1919年新创立的奥地利共和国的首都，是当时的政治、经济、文化中心.1929年哥德尔成了奥地利的公民.在维也纳大学，哥德尔先学物理，后主攻数学.他参加了以攻读B.罗素(Russell)的专著《数学的哲学导论》(Introduction to mathematical philosophy，1919)为中心的讨论班.在1926—1928年期间哥德尔也参加了维也纳 M.施利克(Schlick)的哲学小组，但他并不赞成逻辑实证论观点，1929年他逐渐离开了这一小组，但他仍与该组成员R.卡纳普(Carnap)保持一般的接触.哥德尔离开石里克小组的主要原因是他已建立了自己的独到的哲学观点.
哥德尔的老师、数学家P.富特温勒(Furtw ngler)对他有很大的影响.他的导师H.哈恩(Hahn)的研究兴趣主要是现代分析、集合论、拓扑、逻辑、数学基础和科学哲学，在知识背景方面直接影响了哥德尔.但是，哥德尔在确定自己的研究方向时，起重要作用的两个因素是卡纳普的数理逻辑讲演，D.希尔伯特(Hilbert)和W.阿克曼(Ackermann)的专著《理论逻辑原理》(Grundzge der theoretischen Logik,1928).在这本书的1928年版(即第二版)中著者列举了一阶谓词演算的完全性这个未解决的问题.哥德尔把这一问题作为自己的主攻方向.1929年夏季，当时只有23岁的哥德尔肯定地解决了这一问题：证明了一阶谓词演算的完全性定理.由此，在1930年2月他获得了博士学位.随后，他进一步研究希尔伯特方案，希望用有穷方法证明数学形式系统的协调性问题，主要是关于算术、分析和集合论等系统的协调性问题.1930年8月26日哥德尔向卡纳普等人通告了他的不完全性结果，即数论形式系统如果是协调的，则它是不完全的，并且它的协调性在系统内是不可证明的.1930年9月7日哥德尔在柯尼斯堡召开的数学讨论会上第一次正式公布了他的上述结果.同年10月23日在维也纳科学院他也报告了他的上述结果.哥德尔的不完全性结果与希尔伯特的猜想相反，并且从根本原则上否定了希氏方案.希氏学派的主要成员冯?诺伊曼(von Neumann)、P.伯奈斯(Bernays)先后认识到了哥德尔上述结果的巨大的潜在意义，希尔伯特也不得不重新修改了他的方案.从1930年起，哥德尔与冯?诺伊曼、伯奈斯、E.F.策梅罗(Zermelo)、A.塔斯基(Tarski)等著名数理逻辑学家建立良好的关系.冯?诺伊曼出生于匈牙利，比哥德尔仅大三岁，但他当时已在证明论、集合论、分析学和数学物理等方面作出了重要结果，因而名噪一时.伯奈斯是希尔伯特的助手与合作者，策梅罗是集合论公理系统的首创者，塔斯基是波兰逻辑学家，由于他的形式语言真值概念的工作而成名.他们的交流促进了数理逻辑的发展，扩大了这一学科的影响，并使哥德尔开创的方向成了这一学科的主要倾向.在1933年3月经过简短的教学实习，哥德尔出任维也纳大学的无薪水讲师.同年9月30日赴美国讲学，作为普林斯顿高级研究院的客座成员，他报告了他的不完全性结果.同年12月哥德尔在美国数学会年会上报告了“数学基础的现状”. 1934年4月18日哥德尔在纽约哲学学会上的讲演题目是“包含算术的任意形式系统内不可判定命题的存在性”.接着4月20日在华盛顿科学院讲了“数学能够证明协调性吗？”同年5月26日至6月3日乘船返回欧洲.1935年5月在维也纳大学他讲授数理逻辑课程，其间曾于6月19日在蒙格尔的学术讨论会上介绍他的证明长度的论文.1935年9月至12月哥德尔第二次访问美国.10月间他向冯?诺伊曼通报了他的选择公理相对协调性证明.由于健康原因，他向普林斯顿高级研究院辞职回维也纳治病，1936年他主要在治疗疾病.1937年哥德尔在维也纳大学讲授公理集合论课程，并发现了广义连续统假设相对集合论公理协调性证明的关键步骤.
1938年9月20日，哥德尔与安迪(Adele Nimbursky)女士结婚.安迪比哥德尔大六岁，早在1927年哥德尔才21岁时他们就相爱了.安迪是位舞女并且曾经结过婚，对于他们的相爱，哥德尔的父母极力反对.尽管哥德尔的父亲在1929年已病故，他们仍推迟了多年才结婚.婚后半个月，1938年10月6日哥德尔把妻子留在维也纳，独自应邀第三次赴美国讲学，10月15日到达普林斯顿高级研究院.直至12月他都在讲述选择公理、连续统假设相对协调性结果，其间《美国科学院学报》(Proceedings of theNational Academy of Science， U.S.A，24，pp.556—557)宣布 了他的结果.同年12月28日哥德尔在美国数学学会第45届年会上报告了“广义连续统假设的协调性”.1939年《美国科学院学报》(同上，25，PP.220—224)发表了哥德尔的论文“广义连续统假设的协调性证明”(Consistency-proof for the generalized con-tinuum-hypothesis).同年6月14日—20日，哥德尔乘船由美国返回维也纳.虽然，哥德尔当时已解决了几项重大的数学问题，三次应邀赴美国讲学，他已成为世界知名的数理逻辑学家，但他在维也纳大学仍然是一个无薪水的讲师.9月25日他申请晋升为正规的讲师，无人理采.这样，哥德尔就不得不寻找到美国定居的途径了.1940年1月哥德尔偕夫人安迪离开维也纳到美国定居.1938年3月13日希特勒已吞并了奥地利，哥德尔离开纳粹统治下的维也纳使他从此有了一个进行研究工作的安定环境.从此，他再也没有回过欧洲.
1940年春，哥德尔到达普林斯顿高级研究院，成了该院的成员.同年普林斯顿大学出版社出版了哥德尔的专著《广义连续统假设的协调性》(The consistency of continuum hypothesis)，这是根据他于1938至1939年在普林斯顿高级研究院讲演的原稿整理的，全名应是《选择公理、广义连续统假设与集合论公理的相对协调性》(The consistency of the axiom of choice and of thegeneralized cantinuum-hypothesis with the axioms of set theo-ry).1941年4月他在耶鲁大学的讲演是“在什么意义下直觉主义逻辑是构造的？” (In what sense is intuitionistic logic cons-true tive？)1942年作出了“在有穷类型论中选择公理的独立性证明”(Proof of the independence of the axiom of choice in-finite type theory).1944年发表了“罗素的数理逻辑”(Russell＇smathematical logic).1946年在普林斯顿200周年纪念会上就数学问题作了讲演.1947年发表了重要的数学哲学论文“什么是康托尔的连续统问题？”(What is Cantor＇s continuum problem？)
哥德尔在普林斯顿最亲密的朋友是著名物理学家A.爱因斯坦(Einstein)和数理经济学家O.摩根斯顿(Morgenstern).他们经常散步和闲谈.1948年4月2日他们三人一起到美国移民局，一起取得美国国籍，成为美国公民.哥德尔与爱因斯坦一直是最亲密的朋友，直至爱因斯坦1955年去世.虽然他们两人在性格上有很大的差别，爱因斯坦爱社交，活泼开朗，而哥德尔严肃认真、相当孤独，但是他们都是直接地全心全意地探求科学的本质.1943年后，哥德尔逐渐把注意力转向数学哲学乃至一般的哲学问题.当然他也还不断地关注逻辑结果，比如1958年他研究了有穷方法的扩充，1963年审阅并推荐了P.J.科恩(Cohen)的重要论文“连续统假设的独立性”(The independence of the continuumhypothesis).1973年评述了A.鲁宾逊(Robinson)创立的非标准分析.哥德尔这些工作对数理逻辑的发展都起了重要的作用.
1953年哥德尔晋升为普林斯顿高级研究院的教授.
1951年哥德尔获得爱因斯坦的首次奖，以后多次获得荣誉称号，如哈佛、洛克菲勒等著名大学的荣誉博士、英国皇家学会国外会员、法国研究院的通信成员.哥德尔于1966年还拒绝接受奥地利科学院授予他的荣誉成员称号.1975年9月18日他获得了美国总统奖，当时的总统是福特.
哥德尔妻子安迪于1981年在普林斯顿去世，他们没有子女.
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