听罗素幽怨地诉说他的《数学原理》
2015/11/14 哲学园

     《数学原理》

     哲学方面

     小编按:《The Principies of Mathematics》是罗素于1903年写的,对应文中翻译的《数学的原理》;《Principia mathematica》(Bertrand Russell & Alfred North Whitehead)是罗素与其老师怀特海于1910—1913年出版的关于哲学、数学和数理逻辑的三大卷皇皇巨著,对应文中翻译的《数学原理》。

     自一九○○直到一九一○这些年,怀特海和我把我们大部分的时间都用于后来所成的《数学原理》。虽然这部著作的第三卷到一九一三年才出版,我们在这部书里的任务(除去校对)是在一九一○年完成的,我们在那一年把全部稿子交给了剑桥大学出版社。我在一九○二年五月二十三日写完的《数学的原理》结果变成了其后那部著作的一个粗糙、很不成熟的草稿。可是,《数学的原理》和《数学原理》不同之点是,《数学的原理》是包含着和别的一些数学哲理的争论。

     我们所想解决的问题有两种:哲学的与数学的。大致说来,怀特海把哲学问题留给我。至于数学问题,记号法大部分是怀特海创制的,(引用皮亚诺者除外)。关于级数大部分的工作是我做的,其余是怀特海做的。但是这只是指初稿。每一部分都是弄过三次。我们两个人不管是谁拟出一个初稿的时候,他就把这个初稿送交另一个人,这一个人通常是把它大加修改。然后,原来拟初稿的人再把它最后定稿。这三卷书几乎没有一行不是合作的成品。

     《数学原理》的主要目的是说明整个纯粹数学是从纯乎是逻辑的前提推出来的,并且只使用以逻辑术语说明的概念。这当然和康德的学说正是相反。一开始我以为这部书是用以驳斥"那个强词夺理的庸人"的一个插话,这个对康德的称呼是佐治·坎特说的。坎特为表示得更明确一点,又说:"他不大懂得数学"。但是后来这部书向两个不同的方向发展了。在数学方面,整个新的题目出现了,包含新的记号法在内,有了这种新的记号法,就可以把从前用散漫粗疏的普通语言所对待的事物,用符号来处理。在哲学方面,有两种相反的发展,一种是愉快的,一种是不愉快的。愉快的是,所需要的那套逻辑机构结果是比我所想象的要小。特别是,结果知道类是不必要的了。在《数学的原理》里有许多是讨论一的类和多的类二者之间的区别。关于这一点的全部讨论,以及那本书里很多复杂的论证,证明是不必要的。结果是,那本书写成后好象是缺乏高深的哲理,难解是高深的最明显的特点。

     那个不愉快的方面确实是很不愉快的。自亚里士多德以来,无论哪一学派的逻辑学家,从他们所公认的前提似乎可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病,但是指不出纠正的方法是什么。在一九○一年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。我把这件倒运的事告诉了怀特海,他引了一句话:"愉快自信的清晨不再来",我却不能得到安慰。

     坎特证明没有最大的基数。我是把坎特的这个证明细想了一番之后,发现了上述的那个矛盾的。我脑筋简单,以为世界上所有的事物的数目一定是可能有的最大数目了。我把他的证明用于这个数目,看一看怎么样。这个办法使我考虑一个特殊的类。我顺着以前看起来好象是适当的路线去思索,我觉得一个类有时候是,有时候又不是它自己的一个项。举例来说,匙子这个类不是另一个匙子。但是,不是匙子的那些事物的这个类却是不是匙子的那些事物之一。似乎有些例子不是负的:例如,所有类这个类是一个类。把坎特的论证加以应用,使我考虑不是自己的项的那些类。好象这些类一定成一类。我问我自己,这一个类是不是它自己的一项。如果它是它自己的一项,它一定具有这个类的分明的特性,这个特性就不是这个类的一项。如果这个类不是它自己的一项,它就一定不具有这个类的分明的特性,所以就一定是它自己的一项。这样说来,二者之中无论那一个,都走到它相反的方面,于是就有了矛盾。

     最初我以为在我的推理的里面必是有怎么一种小小的错误。在一种逻辑的显微镜下我检查了每一步,可是我发现不出有什么不对来。我给弗雷格写了一封信,把这件事告诉了他。他回答说,算术发生了动摇,他并且说,他看出他的第五个定律是不能成立的。这个矛盾使弗雷格十分烦恼,他放弃了从逻辑演绎出算术的企图,直到那个时候为止,他本是一生致力于此的。就象遇到无理数的毕达哥拉斯的门徒们一样,弗雷格逃到几何学里去了,显然他以为直到那个时候,他一生的事业是走错了路。至于我呢,我觉得毛病是在逻辑,而不在数学,逻辑非加以改造不可。由于发现了一个秘诀,我的这个意见得到了证实,用这个秘诀可以制造出简直是无限数目的矛盾来。

     对于这个情形,哲学家和数学家们有各种不同的反应。班格莱是不喜欢数理逻辑的,他曾非难数理逻辑,以为它是不能有结果的。他高兴地说:"它不是不能有结果的了,它产生了矛盾。"这话的确是很好,但是并不能解决问题。一些别的不赞成佐治·坎特的数学家采取三月兔的解决办法:"这个我腻烦了,我们还是换个题目罢"。我觉得这也不妥当。但是后来有些人认真想解决这个问题,那些人懂得数理逻辑,并且知道确有用逻辑解决的必要。其中第一个人是F.P.莱穆塞。

     不幸他死得早,没有完成他的工作。但是在《数学原理》出版以前的那些年,我不晓得后来对解决这个问题所做的努力。

     我实际上是独自在那里纳闷。

     有一些更老的悖论(其中有一些是为希腊人所知道的)我觉得引起了类似的问题,虽然我以后的一些作者认为这些悖论是另外的一种。其中最著名的是那个关于克利特人艾皮米尼地斯的悖论。他说所有的克利特人都是说谎的人。这就使人问,他说这话,他是不是不说谎。如果一个人说:"我是说谎呢",这就是这个悖论所表现的最简单的形式。如果他是说谎,那么他是说谎就是一个谎,因此他就是说实话;但是如果他是说实话,他就是说谎,因为那是他说他正在做的事。这样,矛盾就是不能避免的。圣保罗曾经提到过这个悖论①。可是他对于这个悖论的逻辑方面并没有兴趣。他所感兴趣的是,这个悖论证明异教徒是坏的。但是数学家们可以把这些难以索解的问题打发开,以为是和他们的科目毫无关系,虽然他们不能把是否有一个最大的基数或最大的序数这些问题置之于不顾,这两个问题都使他们陷入矛盾。关于最大序数的矛盾是在我发现我的矛盾之前被布拉力福尔提发现的。但是他的这件事是复杂得多,因此我也就以为在推理上是有些小小的错误。无论如何,因为他的矛盾远不象我的矛盾那么简单,乍一看来好象摧毁的力量不是那么大。可是,结果我不得不承认其严重是一样的。

     在《数学的原理》里我并没有公然说我已经找到了一个解决的方法。我在那本书的序言里说:"发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书,我的解释是,经过研究,在第十章中所讨论的矛盾,我看不出最近有得到适当解决的希望,对于类的性质最近也没有希望看得更深更透。有些解决的办法曾使我得到一时的满足。后来常常发现这些解决的办法是有错误的。这种发现使人觉得,好象是较长时间的思索也许可以得出一些表面看来是满意的学说,有了这些学说,问题就显露不出来了。因为这个道理,只把困难说出来,比等下去一直到我相信一个几乎一定是错误的学说中有真理,好象是要更好一点。"在讨论矛盾的那一章之末我说:"上面所说的矛盾不包含特殊的哲学。这种矛盾是直接起源于常识。这种矛盾唯一解决的办法是放弃某种常识的假定。只有以矛盾为滋养的黑格尔哲学才能不关心,因为它处处遇到与此类似的问题。在任何别的学说里,这样一个正面的挑战要求你做出一个答覆,否则就是自己承认没有办法。幸而,就我所知,在《数学的原理》的任何别的部分,没有别的与此类似的困难出现。"在书后的附录里我提出类型说可以给予一个言之成理的解释。最后我深信这个学说会解决这个问题,但是在我从事写作《数学的原理》的时候,我只把这个学说弄得粗具规模。

     这个学说在此情形之下是不能胜任的。我在那个时候所得到的结论表现在这本书的最后一段里:"总括起来说,看来第十章的那个特别的矛盾是被类型说解决了。只是,至少有一种很类似的矛盾大概是不能用这种学说解决的。看来所有逻辑的对象或所有命题,全体包含一种基本的逻辑上的困难。这种困难的完满解决是什么,我还没有发现到;但是因为它影响推理的基础,我恳切盼望所有治逻辑学的人对它加意研究。"

     《数学的原理》写完之后,我准备决意对于这些悖论找到一个解决。我觉得这几乎是对我个人的一个挑战,而且,如果势不得已,我就要花掉我整个的余年来应战。但是有两个理由我以为这是极其不愉快的。第一,我觉得这整个问题是无足重轻的。我极不愿意把注意力集中在一件并不见得实在是有趣的事情上。第二,恁其我怎么努力,我没有进展。一九○三年和一九○四年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。我第一个成就是一九○五年春季的叙述学说。这个学说我将在下文谈到。在表面上看,这是和这些矛盾没有关系的,但是后来一种没有想到的关系出现了。最后,我看得十分清楚,类型说的某种形式是极关紧要的。我现在不着重来讲在《数学原理》里讲到的那个学说的特殊形式。但是我仍全然深信,没有这个学说的某种形式,这些悖论就无法解决。

     正当我在寻求一个解决办法的时候,我觉得如果这个解决完全令人满意,那就必须有三个条件。其中的第一个是绝对必要的,那就是,这些矛盾必须消失。第二个条件最好具备,虽然在逻辑上不是非此不可,那就是,这个解决应该尽可能使数学原样不动。第三个条件不容易说得正确,那就是,这个解决仔细想来应该投合一种东西,我们姑名之为"逻辑的常识",那就是说,它最终应该象是我们一直所期待的。在这三个条件之中,第一个当然是大家所公认的。可是第二个是为一个很大的学派所否认的,他们认为分析的很大一部分是不正确的。那些以善用逻辑而自满的人以为第三个条件是不重要的。举例来说,奎尹教授曾制作出一些体系来。我很佩服这些体系的巧妙,但是我无法认为这些体系能够令人满意,因为这些体系好象专是为此创造出来的,就是一个最巧妙的逻辑学家,如果他不曾知道这些矛盾,也是想不到这些体系的。但是,关于这一个问题已经出现了大量而且很深奥的文献,其细微的地方我就不再多说了。

     撇开困难的专门细节不谈,我们可以把类型说的梗概说一说。也许研究这个学说的最好的办法是考查一个"类"的意义是什么。我们先用一个平凡的例子来说明。假定饭后请你吃饭的主人在三种甜食里面请你挑选,要你吃一种或两种,或三种都吃,随你的意。你可以有多少办法呢?你可以都谢绝。这是一种办法。你可以在甜食之中取一种。这有三种不同的可能的办法,所以你又有三种选择。你可以选得甜食之中的两种。这又可能有三种办法。或者三种甜食你都要。这给你一个最后的可能性。这样说来,可能性的总数是八,也就是23。不难把这个程序归纳成通则。假定在你面前有n那么多的东西,你想知道在n之中一个不选,或选几个,或者都要,一共有多少选择。你就要知道,办法的数目是2n。用逻辑的语言来说:一个有n项的类有2n那么多的次一级的类。如果n是无限的,这一个命题仍然是正确的。坎特所证明的是,即使在这一个例子中,2n是大于n。如果像我那样把这个应用于宇宙中的一切事物,我们就得到这样一个结论:事物的类是多于事物。因此类就不是"事物"。但是,因为没人十分懂得这句话里"事物"这个字是什么意思,把我们所已经证明出来的东西很确切地说出来是不很容易的。我所不能不得出来的结论是:类不过是说话时的一种方便而已。在我写作《数学的原理》的时候,关于类这个问题我已经有些觉得没有办法。可是,我那时候表达意思所用的语言,我现在想来,是不应该那么有实在论的色彩的(实在论是取经院哲学上的意义)。我在那本书的序文中曾这样说:

     "讨论难以界说的东西(占哲学逻辑的主要部分)是想法子把这些实体看得清楚,也是使别人看明白这些实体,这样,我们的心理也许对于这些实体有一种认识,和认识红的颜色或菠萝的味道一样。凡我们获得难以界说的东西主要是在分析过程中必然留有残余的时候(现在所说的例子就是如此),知道一定有这样的实体往往比实际上觉察到这些实体要容易一些;有一种过程,这种过程和发现海王星的过程相类似,只是有一个不同之点,就是,用精神的望远镜来寻求那个已经推论出来的实体,这个最后的阶段往往是从事这件事情最困难的部分。关于类这个例子,我不得不坦白地说,我没有看出有任何概念可以满足类这个概念的必要条件。在第十章中所讨论的矛盾,证明有些东西不大对,但是,这究竟是什么我一直看不出来。"

     我现在对于这件事的说法应该有些不同了。我应该说,假定有任何命题函数,比如说fx,那么x的值就有一个相当的范围,就这个值的范围来说,这个函数是"有意义的",也就是说,不是真就是伪。如果a是在这个范围之中,fa就是一个命题,这个命题不是真就是伪。除了用一个常数代替x这个变数以外,关于一个命题函数,还有两件事可做:一件是说它永远是真;另一件是说它有时是真。"如果x是人,x就不免于死"这一个命题函数永远是真;"x是人"这一个命题函数有时是真。所以关于一个命题函数有三件事情可做:第一是用一个常数来代替变数;第二是对于这个函数的一切值加以断定;第三是对于一些值,或者至少一个值,加以断定。

     命题函数本身只是一个式子而已。它并不对于什么加以断定或否定。同样,一个类不过是一个式子而已。它只是谈使这个函数为真的变数的那些值的一种方便方法而已。

     关于上面所说解决这个问题所需要的三个必要条件之中的第三个条件,我曾提出来一个学说,这个学说好象是不合别的那些逻辑学家的意的。可是在我看来,这个学说仍然是正确的。这个学说可以述之如下:当我对于一个fx函数的一切值加以断定的时候,我断定的若要明确,x所能采取的值就必须是明确的。那就是说,x所可能有的值必须有一个总体。

     如果我现在进而创立以那个总体来说明的新的值,这个总体好象就因此扩大了,而且与它有关的新的值也就因此和那个扩大了的总体有了关系。但是,因为新的值不能不包括在这个总体之中,这个总体就永远追不上这些新的值,这个过程就好象你想要跳到你的头的影子上。我们用那个关于说谎的人的悖论最能简单地对于这一点加以说明。那个说谎的人说:

     "不论我说什么都是假的"。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。我们不能不把涉及命题总体的命题和不涉及命题总体的命题加以区分。那些涉及命题总体的命题决不能是那个总体之中的份子。第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。所以我们那位说谎的人现在就不能不说:"现在就是肯定一个第一级的伪命题,这是伪的。"但这本身是一个第二级的命题。

     所以他不是说出任何第一级的命题。因此他所说的简直就是伪的,说它也是真的这种议论不攻自破。这种论证完全可以用于任何高一级的命题。

     我们可以发见,在一切逻辑的悖论里都有一种反身的自指,这种反身自指应该根据同样的理由加以指斥。那就是说,它包含讲那个总体的某种东西(这种东西又是总体中的一份子)。如果这个总体已经固定了,这种东西才有明确的意义。

     我不能不坦白地说,这个学说还没有获得广泛的承认。但是我还没有见到能使我信服的反对这个学说的论证。

     前面曾经提过的叙述学说是在发表于一九○五年《心》学报的我的一篇文章《论指示》中第一次提出的。那时的那位编辑人觉得这个学说很不合理,他请我重加考虑,不要要求照原样发表。但是,我相信这个学说是正确的,我拒绝让步。

     这个学说后来得到普遍的承认,大家以为这是我对于逻辑最重要的贡献。的确,现在那些不相信名称和别的字之间是有区别的人对于这个学说是有一种反应。但是我认为只有在那些没有弄过数理逻辑的人之中才有这种反应。总而言之,我在他们的批评里看不出任何正确性来。可是我承认,也许名称学说要比我有一个时期所想的稍微难一点。可是我暂时把这些困难搁下不管,来讲一讲普通所用的日常语言。

     我曾取"斯考特"这个名称和"《威弗雷》的作者"这个叙述之间的对比来作我的论证之用。"斯考特是《威弗雷》的作者"这个命题是表示一个同一性,不表示一个同义反复。

     佐治第四想知道斯考特是不是《威弗雷》的作者,可是他并不想知道斯考特是不是斯考特。虽然这使每一个未曾研究过逻辑的人都能了解,对于逻辑学家却是一个谜。逻辑学家们认为(也可以说从前认为),如果两种措辞是指一种东西,包含其一措辞的一个命题就永远可以被包含另一种措辞的一个命题所代替,而不失其为真,如果原来那个命题是真,或不失其为伪,如果原来那个命题是伪。但是,我们已经说过,用"斯考特"代替了"《威弗雷》的作者"之后,你可以把一个真命题变成一个伪命题。这表明不能不把一个名称和一个叙述加以区别:"斯考特"是一个名称,可是"《威弗雷》的作者"就是一个叙述。

     名称与叙述之间另外一种重要的分别是,如果一个名称没有所指,它在一个命题里就没有意义,而一个叙述却不受这种限制。我对麦农的工作原是表很大的敬意的,他却看不出这种区别来。他曾经指出,我们可以提出一些命题来,其逻辑的主辞是"金山",虽则金山并不存在。他的持论是,如果你说金山并不存在,显然你所说的有一种东西是不存在的,也就是说,金山:所以金山一定是存在于柏拉图哲学里某种渺茫的有的世界之中,因为,若不是如此,你的那个金山不存在的命题就是没有意义的。我老实说,在我想出叙述学说以前,我觉得麦农这种论证是令人信服的。这个学说的要点是,虽然"金山"在文法上可以是一个有意义的命题的主辞,这样一个命题,如果正确地分析了以后,就没有这样一个主辞了。"金山不存在"这个命题就变成了"就x的一切值来说,'x是金的而且是一座山'这个命题函项是伪的"。"斯考特是《威弗雷》的作者"这个命题变成了"就x的一切值来说,'x写了《威弗雷》'等于'x是斯考特'。"在这里,"《威弗雷》的作者"的字样就不再出现了。

     这个学说还弄明白了"存在"是什么意思。"《威弗雷》的作者存在"意思是说"有一个c的值,就这一个值来说,x写了《威弗雷》'永远等于'x是c'这一个命题函项是真的。"

     从这个意义来说,存在只能用来说一个叙述,而且,经过了分析之后,就可以见出是一个命题函项的例子,至少就变项的一个值来说是真的。我们可以说"《威弗雷》的作者存在",我们也可以说"斯考特是《威弗雷》的作者",但是"斯考特存在"是不正确的说法。这种说法最多能解释为有这种意思:"名叫斯考特的那个人存在",但是"名叫斯考特的那个人"是一个叙述,不是一个名称。凡是把一个名称适当地当做一个名称用的时候,说"它存在"是不正确的。

     叙述学说的主要之点是,一个短语对于一句话的意思可以有所贡献,若是单独用的时候就完全不具有任何意义。就叙述来说,关于这一点有精确的证明:如果"《威弗雷》的作者"是指"斯考特"以外的什么东西,"斯考特是《威弗雷》的作者"就是伪的,实际上这个命题并不伪。如果"《威弗雷》的作者"是指斯考特,"斯考特是《威弗雷》的作者"就是同义反复,而实际上并非如此。所以,"《威弗雷》的作者"既不指"斯考特",也不指什么别的东西。那就是说,"《威弗雷》的作者"什么也不指。证讫。

     数学方面

     大家只从哲学的观点来看《数学原理》,怀特海和我对此都表失望。对于关于矛盾的讨论和是否普通数学是从纯乎逻辑的前提正确地演绎出来的问题,大家很有兴趣,但是对于这部书里所发现的数学技巧,大家是不感兴趣的。我从前知道只有六个人读了这部书的后面几部分。其中三个是波兰人,后来(我相信)被希特勒给清算掉了。另外三个是得克萨斯州人,后来被同化得很满意。甚至有些人,他们所研究的问题和我们的问题完全一样,认为不值得查一查《数学原理》关于这些问题是怎么说的。我举两个例子:大约在《数学原理》出版十年之后,《数学纪事》发表了一篇长文,其中一些结果我们在我们的书里的第四部分不约而同早已经弄出来了。这篇文章里有些错误,我们却避免了,可是没有一个正确的地方不是我们已经发表过的。这篇文章的作者显然完全不知道他的这种工作早已经有人先他而为之了。第二个例子是在我在加利福尼亚大学和莱申巴赫同事的时候出现的。他告诉我,他有一项发明,他把数学归纳法引伸了。他名之为"超限归纳法"。我对他说,这个问题是在《数学原理》的第三卷里充分讨论过的。过了一个星期,他对我说,他已经证实了这一点。我想在本章里尽可能不过于专门,从数学的观点,不从哲学的观点,把《数学原理》我认为重要的几方面解释一下。

     我先从一个问题着手,这是一个哲学上的问题,也同样是一个数学上的问题,就是,关系的重要性。在我的论莱布尼茨的书里,我曾着重讨论过有关系的事实和命题的重要性,和这些相对立的是由本体--和--属性而成的事实和由主辞--和--宾辞而成的命题。我发现对关系所持的偏见在哲学和数学里是发生了不良影响的。正象莱布尼茨未获成功的努力一样,布尔的数理逻辑是讨论类的包含的,而且只是三段论法的一种发展。皮尔斯曾弄出一种关系逻辑,但他是把关系当作一种由双而成的类。这在技术上是可能的,但是并不自然而然地把注意力引向重要的东西。在关系逻辑里重要的东西是与类逻辑不同的东西。关于关系,我在哲学方面的意见有助于使我着重一种东西,这种东西结果变得极为有用。

     在那个时候,我几乎是只把关系认做是内包。我想到了这样一些句子:"x在y之前"、"x大于y"、"x在y之北"。那时我觉得(我现在确是仍然觉得),虽然从一种形式算法的观点来看我们可以把关系当做一套有序的偶,可是使这一套成为一个统一体的只是内包。当然,类也是如此。使一个类成为一个统一体的只有那个为类中的各项所共具、又为各项所特有的内包。凡是我们对付一个类,其中的项我们无法列举的时候,上面所讲的道理是显而易见的。就无限的类来说,无法列举是很明显的,可是大多数有限的类也正是如此。举例来说,谁能列举蠼螋这个类其中的各项呢?虽然如此,我们还是可以说出一些关于一切蠼螋的命题来(或真或伪),我们之所以能够如此,乃是由于使这个类所以能够成立的内包。以上所说各点也一样可以用于关系。关于时间上的次序,我们有很多事情可说,因为我们懂得"在先"这个字的意思,虽然x在y之先这样的x,y一切的偶我们是无法列举的。但是对于关系是偶的类这种见解还有一个反对的议论:这些偶必须是有序的偶,那就是说,我们必须能够分别x,y这个偶和y,x这个偶。若是不藉内包上的某种关系,这是做不到的。只要我们只限于类和宾辞,就不可能解释次序,或把一个有序的偶和无序的一个两项的类加以区分。

     所有这些都是我们在《数学原理》里所发展出来的关系算法的哲学背景。我们不得不把各种概念用符号来表示,这些概念在以前是数理逻辑学家们没有弄得显著的。这些概念中最重要的是:(1)由一些项而成的类,这些项对于一个既定的y项有R关系;(2)由一些项而成的类,对于这些项一个既定的x项有R关系;(3)关系的"范围",这个范围是由一个类而成,这个类中所有的项对于某种什么东西有R关系;(4)R的"相反范围",这个范围是由一个类而成,某种什么东西对于这个类中所有的项有R关系;(5)R的"领域",这个领域是由上面所说的那种"范围"和"相反范围"而成;(6)一种R关系的"反面",这是x和y之间有R关系的时候,y和x之间所具的一种关系;(7)R和S两种关系的"关系产物",这是有一个y中项的时候,x和z之间的一种关系,x对于y有R关系,y对于z有S关系;(8)复数,界说如下:有既定的某a类,我们形成一个由若干项而成的类,所有这些项对于a的某项有R关系。我们可以看一看人与人的关系来作以上各种概念的例子。举例来说,假定R是父母与子女的关系。那么,(1)就是y的父母;(2)是x的子女;

     (3)是所有那些有子女的人的类;(4)是所有那些有父母的人的类,那就是说,除了亚当和夏娃以外,每人都包括在内;

     (5)"父母"关系的领域包括每个人,他或是某人的父母,或是某人的子女;(6)"的父母"这种关系的反面是"的子女"那么一种关系;(7)"祖父母"是父母与父母的关系产物,"弟兄或ae?妹"是"子女"与"父母"的关系产物,"堂兄弟或弟兄或ae?妹"是孙和祖父母的关系产物,余可以类推;

     (8)"伊通学院学生的父母"是按这一个意义来说的复数。

     不同种类的关系有不同种类的用处。我们可以先讲一种关系,这种关系产生一种东西,我名之曰"叙述函项"。这是最多只有一项对于既定的一项所能有的一种关系。这种关系产生用单数的"the"这个字的短语,如"thefatherofx"(x的父亲),"thedou-bkeofx"(x的两倍),"thesineofx"(x的正弦),以及数学中所有的普通函数。这种函项只能由我名之曰"一对多"的那种关系产生出来,也就是最多一项对于任何别的一项所能有的那种关系。举例来说,如果你正在谈一个信基督教的国家,你可以说"x的妻",但是如果用于一个一夫多妻制的国家,这一个短语的意思就不明确了。在数学里你可以说"x的平方",但是不能说"x的平方根",因为x有两个平方根。前面所列的表里的"范围"、"相反范围"和"领域"都产生叙述函项。

     第二种极其重要的关系是在两个类之间建立一种相互关系的那种关系。这种关系我名之曰"一对一"的关系。这是这样一种关系,在这种关系中,不仅最多只有一个对于一个既定的y有R关系的x,而且最多也只有一个y,对于这个y一个既定的x有R关系。举一个例子:禁止一夫多妻的婚姻。

     凡是在两个类之间有这样一种相互关系存在,这两个类的项的数目就是一样的。举例来说:不用计算我们就知道妻的数目和夫的数目是一样的,人的鼻子的数目和人的数目是一样的。有一种特殊形式的相互关系,这种关系也是极其重要的。

     这种相互关系的起因是:有两个类是P和Q两个关系的领域,并且在它们之间有一种相互关系,凡是两个项有P这种关系的时候,它们的相关者就有Q这种关系,反之亦然。结过婚的官吏的位次和他们的妻的位次就是一个例子。如果这些妻不和贵族有关系,或者如果这些官吏不是主教,这些妻的位次就和丈夫的位次是一样的。这种产生相互关系的东西名曰"次序的相互关系产生者",因为不管在P领域中的各项有怎么一种次序,这种次序总保存在Q领域中的它们的相关者中。

     第三种重要的关系类型是产生系列的一种关系。"系列"是一个旧的,人人都熟悉的名辞,但我认为我是给这个辞以一个确切意义的第一个人。一个系列就是一个组,包含若干项,这些项有一个次序,这个次序来源于一种关系,这种关系具有三种性质:(a)这种关系一定是不对称的,那就是说,如果x对y有这种关系,y对x就没有这种关系;(b)它一定是及物的,那就是说,如果x对y有这种关系,并且y对z有这种关系,x对z就有这种关系;(c)它一定是连接的,那就是说,如果x和y是这种关系领域中的任何不同的两项,那么,不是x对于y有这种关系,就是y对于x有这种关系。如果一种关系具备了这三种性质,它就把它领域中的各项排列在一个系列中。

     所有这些性质都很容易用人与人关系的例子来说明。·丈·夫这种关系是不对称的,因为如果A是B的丈夫,B就不是A的丈夫。相反,配偶就是对称的。祖先是及物的,因为A的一个祖先的一个祖先是A的一个祖先;但是·父·亲是不及物的。在一个系列关系所必具的三个性质之中,祖先具备两个,不具备第三个,"连接",那个性质,因为,并不是任何两个人之中,一个一定是另一个的祖先。另外一方面,举例来说,如果我们看一看一个皇室的王位继承,儿子总是继承父亲,仅限于这个王系的祖先关系是连接的,所以这些国王形成一个系列。

     上面这三种关系是逻辑和普通数学之间过渡的极为重要的关系。

     现在我想进而把几种发展的大意说一说,以上所讲的逻辑上的那一套对于这些发展是很有用的。但是在讲之前,我先说几句概括的话。

     在我年轻的时候,人家告诉我说,数学是关于数目和量的科学,另一种说法是,数学是关于数目和度量的科学。这一个定义失之过于狭隘。第一:在传统的数学里所讲的那些很多不同种类的数目只占数学方法所应用到的那个范围的一小部分,并且,为建立算术的基础我们所不能不有的推理是和数目没有很密切的关系的。第二:在讲算术和算术的绪论的时候,我们不可忘记,有些定理对于有限的和无限的类或数来说都一样是真的。只要可能,我们不应该只为前者对于这些定理加以证明。说得更普通一些,如果在比较普遍的范围内我们可以证明一些定理,我们认为,在特殊某类的实例中对于这些定理加以证明是一件耗费时间的事。第三:算术中的一些传统的形式定律,即,结合定律,

     (a+b)+c=a+(b+c)

     交互定律,

     a+b=b+a

     以及乘法上的一些类似的定律

     和分配定律

     a×(b+c)=(a×b)+(a×c)

     我们认为证实这些定律是我们的目的的一部分。初学数学的人只学了这些定律而无证明,要不然,如果有证明,他们是用数学归纳法,因此只对于有限数是有效的。加法和乘法上的普遍定义假定因数的数目是有限的。我们竭力想去掉包括以上所说那一种在内的一些限制。

     用所谓"选择"的方法,我们可以把乘法扩展到无限多的因数。用选举议会的议员这个例子最容易使我们明白选择这个概念是什么。假定在该国家里每一个选举出来的议员必须是选民中的一员,整个议会就是自选民而来的一个所谓"选择"。大意是这样:如果有一个由若干类而成的类,那若干类中没有一个是零,选择就是一种关系,从每类中挑出一个项来做那类的"代表"。这样做法的数目(假定没有一项为两类所共有)就是这些类的数目的积数。举例来说,假定我们有三个类,第一个是由x1,x2,x3而成,第二个由y1,y2,y3而成,第三个由z1,z2,z3而成,凡是包含一个x,一个y和一个z的类就是自三类的类而来的一个选择。无论哪一个读者都不难弄明白有二十七种办法来做这种选择。

     在我们采用了这种乘法的定义之后,我们遇到了一种没有想到的困难。如果类的数目是无限的,好象我们就无法确知选择是可能的。如果这些类的数目是有限的,我们可以从每一类里任意挑出一个代表来,在大选里就是这样;但是,如果这些类的数目是无限的,我们就无法有无限数目的任意的挑选,并且我们不能确知可以做出一个选择来,除非有一个内包来得到所希望的结果。我举一个例子:从前有一个百万富翁,他买了无数双鞋,并且,只要他买一双鞋,他也买一双袜子。我们可以作一个选择,从每双鞋里挑一只,因为我们总是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以,就鞋来说,选择是存在的。但是,论到袜子,因为没有左右之分,我们就不能用这个选择的规则。如果我们想从袜子之中能够加以选择,我们就不能不采取一种精密得多的方法。例如,我们可以找出一个特点来,在每双袜子中有一只比另一只更近于这个特点。

     这样,我们从每一双里挑选那一只比较近于这个特点的袜子,我们就选择出来了一套。我曾有一次把这一个谜说给在三一学院教职员餐桌偶尔坐在我一边的一位德国数学家听,可是他唯一的评语是:"为什么说百万富翁?"

     有些人以为,不言而喻,如果这些类之中没有一个是零,从每类中选择出一个来就一定是可能的。另有一些人则认为不然。关于这一点,皮亚诺说得最好:"这一个原则正确不正确呢?我们的意见是没有价值的。"我们对于我们所谓"乘法公理"所下的界说是:这是假定永远可能从一组若干类中的每一个(这些类没有一个是零)选出一个代表来。我们找不到赞成或反对这个公理的论证,因此我们把这一个公理明白地包括在应用这个公理的任何定理的假定中。在我们遇到这一个问题的同时,载尔美乐提出了他所说的"选择原理",这是一个略为不同但在逻辑上相等的假定。他和一些别的人把它看做是一个自明的真理。因为我们并不采取这一个意见,我们尽力寻求一些方法来对付乘法而不假定这个公理是真的。

     选择的逻辑学说无论在哪一点上都不依赖"数目"这个概念,在《数学原理》里我们是在给"数目"下界说之前提出来选择学说的。这种意思也可以用于另一个极其重要的概念,也就是,在普通语言里用"等等"这些字所表示C的那个概念。

     假定你想用"父母"这个概念来说明"祖先"这个概念。

     你可以说,A是Z的祖先,如果A是B的父(或母)亲,B是C的父(或母)亲,等等,并且这样在有限的多少步之后,你达到Y这个人,他是Z的父(或母)亲。这都没有问题,只是有一件,这里边包含"有限的"这几个字,这几个字不能不加以界说。只有用一个完全一般的概念的特殊应用,给"有限的"下定义才是可能的,就是,从任何既定的关系而来的祖先关系那个概念。这个祖先关系概念最初是弗雷格远在一八七九年发展出来的,但是直到怀特海和我发展出这个概念来的时候,弗雷格的工作一直没有为世人所注意。我们想加以界说的这个概念可以初步解释如下:如果x对于y具有R关系,我们姑且把x到y这一步称为"R步"。你可以从y到z再走一R步。凡是通过从x开始的那些R步你所能达到的东西,我们都说成为关于R的x的"后代"。我们不能说凡是通过一个"有限数目的R步"你所能达到的东西,因为我们还没有对于"有限"这个辞加以界说。我们只有借"后代"这个概念才能给它下一个界说。关于R的x的后代可以界说如下:我们先给关于R的一个"世传的"类下一个界说。

     这是有这样性质的一个类:凡是从这个类的一项通过一R步所达到的东西就又是这个类的一项。举例来说,"斯密"这个名称的性质是在父子关系中世传的,人性这种性质是在父母对子女的关系中世传的。"如果y属于x所属于的每个关于R的世传的类,y就属于关于R的x的后代",我现在说明这是什么意思。现在让我们把这个应用于普通的整数,用一个数目对于它下面紧接着的那个数目的关系来代替R。如果我们现在看一看关于这一个数目的0的后代,显然1是属于这个后代,因为1=0+1;而且,因为1属于0的后代,2也是如此;而且,因为2是如此,3也就是如此。这样下去,我们就得到一整套都属于0的后代的数目。我们可以把用所谓"数学归纳法"的证明应用于所有这些数目。数学归纳法是这样一个原理:如果一个性质属于0,并且属于有这个性质的任何数目下面紧接着的那个数目,那么,这个性质就属于所有的有限数。把"有限"数说明为0的后代,这是这个定义的直接结果。从前大家以为数学归纳法是一个原理,因为从前以为一切数目一定是有限的。这是一个错误。数学归纳法不是一个原理,而是一个定义。对于有些数目来说它是正确的,对于另一些数目来说它是不正确的。凡它能适用的数目就是有限数。举例来说,把1加到一个有限数上,这个有限数就增加了;一个无限数就不是这样。

     整个这个祖先关系学说不但对于数目说来是十分重要的。因为这个理由,我们在提出数的定义来以前就创立了这个学说。

     现在我来讲一个东西,我名之为"关系算术",这占了《数学原理》第二卷的后半本的篇幅。从数学的观点来看,这是我对于这部书最重要的贡献。我所说的"关系数"是一种完全新的数,普通数是这种数的一种极其特殊化的例子。我发现,一切能用于普通序数的那些形式定律都能用于这一种一般得多的数。我也发现,关系数对于了解结构是很要紧的。

     有些辞("结构"就是其中的一个),正如"等等"或者"系列",虽然为人用得惯熟,却无确切的意义。借关系算术,"结构"这个概念就可以精确地加以界说。

     这一个问题里的基本定义是前面已经提到过的"次序的类似"或"相似"的定义。凡和关系有关的地方,这种东西所起的作用正和类似在类与类之间所起的作用是一样的。类与类之间的类似就是一个一对一的关系的存在,把一类的每一项和另一类中的相关者连结到一起。P和Q两种关系之间的次序的类似就是指,有P领域对Q领域的那么一个相互关系产生者,凡是两项有P关系,它们的相关者就有Q关系,反之亦然。让我们举一个例证:假定P是已婚的政府官员的位次关系,Q是他们的妻子的位次关系,妻和丈夫的关系就使P领域和Q领域有这样的相互关系:只要是这些妻们有Q关系,他们的丈夫就有P关系,反之亦然。当P和Q两种关系在次序上是类似的时候,如果S是产生相互关系作用的那个关系,Q就是S和P的关系产物,而且是S的倒转。例如,在上面所举的那个例证中,如果x和y是两个妻,并且x对y有Q关系,而且,如果S是妻对丈夫的关系,那么,x就是对y的丈夫有P关系那样一个男人的妻,那就是说,Q和S与P的关系产物是同一关系,并且是S的倒转;S的倒转就是丈夫对妻的关系。凡P和Q是系列关系的时候,它们的相似在于它们的各项可以发生相互关系而不变换次序。但是相似这个概念可以用于一切有领域的关系,也就是,可以用于一切关系,在这种关系中,范围和倒转范围是一种类型。

     我们现在说,一个P关系的关系数就是那些在次序上和P相类似的关系的类。这正有类于用次序的类似代替类的类似,用关系代替类的基数算术。加法、乘法和指数的定义有点儿类乎基数算术里的定义。加法和乘法都遵循结合定律。分配定律在一种形式中是适用的,但是,普通说来,在另一种形式中是不适用的。除了有关的关系的领域是有限的,交互定律是不适用的。举例来说,今有象自然数的系列的一个系列,在这个系列上加上两项。如果你把这两项加在开头的地方,这个新的系列就象是那个旧的系列;可是,如果你把这两项加在末尾,这个新的系列就不同了。无论什么时候,如果x对y有P关系,或x对y有Q关系,或x属于P的领域,y属于Q的领域,那么,P和Q两种关系之和就可以说是能适用于x与y之间的一种关系。根据这一个定义,一般说来,P与Q之和跟Q与P之和不同。不仅一般的关系数是如此,而且序数也是如此,如果其中之一或二者是无限的。

     序数是关系数的次一级的类,也就是能适用于"次序整然的"系列,"次序整然的"系列其性质是:其中任何有若干项的次一级的类有一个第一项。坎特曾研究过超限序数,但是,据我所知,一般的关系数是在《数学原理》中第一次加以界说和研究的。

     一两个例证也许对于我们有帮助。假定你有若干对成一其个系列,你想按照上面解释选择公理的意思从这些对里形成一系列的选择。这个程序和基数算术里的程序十分近似,只是有一点不同,就是,我们现在是想把这些选择排成一个次序,而以前我们只是把它们算做一个类。此外又假定,正如我们讨论类的选择的时候那样,我们有三个组,(x1,x2,x3)、(y1,y2,y3)和(z1,z2,z3),我们想从这些里边弄出一个选择的系列来。这有种种办法。也许最简单的办法是这样:任何包含x1的选择出现在任何不包含的选择之先。在二者都包含x1或都不包含x1的那些选择之中,那些包含y1的选择出现在不包含y1的选择之先。在二者都包含或都不包含x1和y1的那些选择之中,那些包含z1的选择出现在那些不包含z1的选择之先。我们为尾数2和尾数3立下类似的规则。这样我们就得到所有可能有的选择,排成一个系列,这个系列的开头是(x1,y1,z1),最后是(x3,y3,z3)。显然这个系列是有二十七项,但是这里二十七这些数目已经不是象我们从前那个例子里的那样一个基数,而是一个序数了,也就是说,是特别一种关系数。由于在那些选择之中建立了一个次序,它和一个基数是有区别的,一个基数并不建立一个次序。只要我们只限于有限数,在序数与基数之间是没有重要的形式上的分别的;但是,有了无限数的时候,由于交互定律不起作用,其间的分别就变得重要了。

     在证明关系算术的形式定律的时候,我们常常有机会讨论系列的系列的系列。用下面这个实例,你在心中就可以得到一个具体形像:假定你要把一些砖堆积起来,而且,为的是把这件事说得更有趣,假定这是些金砖,你是在诺克司堡工作。我现在假定你先弄成一行砖,把每一块砖放在前一块的正东;你然后再弄一行,和第一行接触,但是是在第一行的正北;这样下去,你弄了许多行,到适当的程度而止。然后你在第一层的上面弄第二层,在第二层的上面弄第三层,这样下去,直到所有的砖都堆完为止。那么每一行就是一个系列,每一层是一个系列的系列,这一整堆是一个系列的系列的系列。我们可以用符号把这个过程代表如下:假定P是上层对下层的关系;P的领域是由各层而成;每一层是一系列的行。假定Q1是最高一层各行南对北的关系,Q2是第二层各行的这种关系,其余类推。Q的领域是一系列的行。在最高一层最南边的一行中,东对西的关系,我们称之为R11;在最高一层的第二行中,东对西的关系,我们称之为R12;其余类推,最后是Rmm,假定m是层的数目,n是每一层中行的数目。在这一个实例中,我是假定层数和行数是有限的,但是这是一个完全不必要的限制,有这一个限制只是为把这个实例弄得简单一点。在普通的语言里,所有这些都颇为复杂而冗长,但是用其符号来就变得简易了。假定E是x对P的关系(这个关系就是x是P的领域的一项)。那么,F3就是F和F和F的关系产物。举例来说,单个的砖是对P有F3关系的一些项,那就是说,每个砖是P的领域的一项的领域的一项的领域的一项。在证明加法和乘法的结合定律的时候,我们需要这样的系列的系列的系列。

     如果两个关系数在次序上类似,我们可以说,它们产生相同的"结构",但结构是略比这个更为广泛的概念,因为它不限于二的关系,那就是说,二项之间的关系。在几何学里,三项或四项之间的关系是很重要的,怀特海原要在《数学原理》的第四卷里讨论这些关系。但是他做了不少预备工作之后,他的兴趣松懈下来,他放弃了这计划,而走向哲学去了。

     可是不难看出结构这个概念如何可以一般化。假定P和Q已经不是二的关系,而是三的关系,这样的关系有许多通俗的例子,如,"在……之间"和"嫉妒"。关于P和Q,我们可以说它们有相同的结构,如果能使它们有相互关系,凡在那个次序里xyz有P关系的时候,它们的相关者在相同的次序里就有Q关系,反之亦然。结构之为重要是有经验上的原因的,但是它的重要性也有纯粹是逻辑上的原因。如果两个关系有相同的结构,它们的逻辑上的性质是同一的,只是有一件:有赖于它们的领域的项的那些性质要除外。我所谓"逻辑的性质"是指能用逻辑术语表示的那些性质,不只是指能用逻辑证明的那些性质。对于系列关系加以界说的那三个特征就是一个例子,就是说,它们是不对称的、及物的、连接的。这些特征可以用逻辑术语表示出来;如果一个关系有其中之一的任何特征,每个在次序上和它类似的关系就也有这一个特征。每个关系数,不管是有限的或是无限的,是有这个数的任何关系的一个逻辑的性质。大体说来,凡关于一个关系你所能讲的话,不提有这个关系的各项,也不谈任何不能用逻辑术语表示的性质,都完全能适用于任何与你着手的关系相类似的关系。逻辑的和别的性质之间的区别是很重要的。举例来说,如果P是颜色之间的一种关系(例如虹里颜色的次序),是颜色之间的一种关系这么一个性质不属于在次序上与P类似的一切关系;但是是系列的那样的一个性质却是如此。再举一个较为复杂的例子:留声机器和灌片时原来的音乐在它们的逻辑的性质方面是分辩不出来的,虽然这两种东西所由成的实际材料是很不同的。

     另一个实例也许能帮助我们把结构这个概念解释明白。

     假定你知道某种语言的文句构造上的规则,但是,除了用于逻辑的一些字以外,你一个字也不认识,并且假定有人给了你用这种文字写出来的一个句子:这句话可以有的不同的意义是什么呢?这些意义的相同之点是什么呢?只要能使这整个句子具有意义(也就是说,在逻辑上讲得通),你对于每个单个的字可以赋予任何意义。那么,这句话就有很多可能的意义,也说不定是无限多,但是它们都有相同的逻辑结构。如果你的语言具备某些逻辑上的必要条件,使你的一些句子为真的那些事实也就有相同的结构。

     我认为关系算术是重要的,这不只是因为它是一个有趣的通则,也是因为它给人以对付结构所必需的一种符号技术。

     我一直认为,不熟悉数理逻辑的人很不容易了解"结构"的意义,而且,因为有这一种困难,在试图了解经验的世界的时候,他们很容易走错了路。仅是因为这个道理,关系算术这一个学说至今不大为世人所注意,我对此觉得十分惋惜。

     我之知道这个学说没有完全被人所忽略,是因为我在一九五六年出乎意料之外接到了柏林汉布特大学俞尔根·斯密教授的一封信。他告诉我,这个学说的一些部分在所谓"辞典编辑问题"中曾经用过,这个问题是在于规定一种语言中字的字母排列,这种语言的字母是无限的。

    http://www.duyihua.cn
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