巅峰对话：哥德尔论图灵（连载一）
2016/3/24 哲学园
心灵与机器：论可计算主义(一)王浩选自《逻辑之旅》第6章
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王浩(1921-1995)，美籍华商数字家、辑学家、计算机科学家、哲学家。1921年生于山东济南市。1943年毕业于西南联合大学数学系。1945年于清华大学研究生院哲学系毕业。曾师从金岳霖、王宪钓、沈有鼎等。1946年赴哈佛大学留学，师从蒯因(W.V.O.Quine)，两年时间即获哈佛大学哲学博士学位。在哈佛短暂教学之后赴苏黎世与贝奈斯(Paul Bernays)一起工作。 1954-1956年，在牛津大学任第二届约翰 · 洛克讲座主讲，又任逻辑及数理哲学高级教职，主持数学基础讨论班。1961-1967年，任哈佛大学教授。1967-1991年，任洛克菲勒大学逻辑学教授。20世纪50年代初被选为美国科学院院士，后又被选为不列颠科学院外国院士。1983年，被国际人工智能联合会授予第一届“数学定理机械证明里程碑奖”，以表彰他在数学定理机械证明研究领域中所作的开创性贡献。有《数理逻辑概论》、《从数学到哲学》、《哥德尔》、《超越分析哲学》等专著。可以设想(虽然远远超出今日科学的界限)，脑生理学将发展到这样的高度，让人们能够在经验上肯定：
(1)人脑足以解释所有的心智现象，它在图灵的意义上就是一台机器;
(2)人脑进行数学思维的部分，其物质结构和生理功能不外是如此这般。
——哥德尔吉布斯演讲，1951年
可计算主义(computabilism)说的是，人脑和心灵基本上像一台计算机一样工作；神经主义(neuralism)说的则是，人脑足以解释心智现象。哥德尔在20世纪70年代与我的讨论中，坚定地相信可计算主义和神经主义都是不正确的——这一立场排除了通过增加知识达到本章开始引文中引文第(1)点所预料的结果的可能性。如果我们不假设神经主义，那么可计算主义的问题就分裂成两个子问题：一个是关于神经现象的，另一个是关于心智现象的。另外，既然我们拥有相当发达的物理学，心与身的关系就常常等同于心与物的关系，这样一来神经主义就被物理主义所替代。假若我们要澄清这些前提的话，那就可以按一种明显的方式作以下的区分：一方面是生物、神经和心智现象的物理主义，另一方面是物理、生物、神经和心智现象的可计算主义。
在这7个不同的问题之中，哥德尔与我讨论的中心问题是可计算主义对于心智过程的解释，就是说，是否所有的思维——尤其是数学思维，都是计算的过程。哥德尔思索的要点是论证并非所有的数学思维都是计算。我们之间实际的讨论开始于我的一种思考，即把机械过程作为相当成功地刻画一般数学概念的一个例证。哥德尔特别地：
(1)评论了我关于图灵可计算性不是一个完全明确的概念的说法(Wang，1974a；以下称MP：81-83)；并且
(2)评论了我对于图灵的机械过程定义的充分性的一种论证(同上：90-95)。这个论证引起哥德尔的一些回应(同上：84-85，102 注30，326)，事后想起来，其中包括了
(3)对反驳物外无心这一俗见的一种猜想。哥德尔还
(4)评论了我的一种意见，这意见乃是针对运用他的不完全性定理去否证关于心智现象的计算观点(computerism)的诸种尝试的(同上：315-320)。这些评论，引出了我在MP第324页中间开始的两段文字。考虑到应从较熟悉的材料出发，逐层递进，本章中我打算先勘察(4)和(3)，然后返回(2)和(1)。
除了几处偶发的感想，我循序考察哥德尔在下面一些问题上的看法：
(1)心智可计算主义与哥德尔表达数学的计算不可穷尽性的不完全性定理之间的关系；
(2)没有坚实的证据支持流布颇广的物理主义(或物理与心理平行论)信念；
(3)图灵表述方式的优点和缺点，以及如何核证他对于计算机和计算的定义；
(4)物理的和神经的可计算主义。特别而言，哥德尔对问题(1)的看法，延续了他在吉布斯演讲中表达的思想，演讲作于1951年，讲稿亦于当年写成。(见Godel，1995以下称CW3 )
6.1 心智可计算主义---哥德尔定理和其他的提示
要尝试反驳心智可计算主义，惯常的思路是引证哥德尔的不可穷尽性定理。这条定理蕴含了：对每台生成定理的计算机来说，总有某个真句子，我们可以看出它是真的，但这台计算机不能生成它。因此，就证明定理而言，我们的心智力量看起来超过任何计算机。但我们要精确构造这个论证的时候，就会发现其中尚有细微的漏洞需要填补。
哥德尔定理的一种形式说的是：如果一台足够强的定理证明机器或程序是可靠的或一致的，那么它不能证明出表达它自身的一致性的真句子。在吉布斯演讲中，哥德尔利用这种形式导出了几条结论。1972年，他重新写过其中的两条结论：
6.1.1 人心不能将它所有的数学直觉都形式化(或机械化)。这就是说，如果它成功地形式化了其中一些直觉，那么这件事实本身又生出了新的直觉性知识，比如这个形式化的一致性。这可以称为数学的“不可完全性”。另一方面，基于迄今已证明的结果，有可能存在(甚至可以在经验中发现)一台定理证明机器，它事实上等价于数学直觉，但不能被证明如此，甚至不能证明对有穷数论它只产生正确的定理。[见Mp：324]
6.1.2 或者人心胜过所有的机器(说得确切一些，它比任何机器都能判定更多的数论问题)，或者存在一些人心不能判定的数论问题。[不排除二者都真。]
在1972年的文本中，哥德尔继续——超出了他的吉布斯演讲——论证了一种“理性乐观主义”，从而排斥了第二种可能(MP：324-325)。(参见第9.4节和与此论证有关的一些看法。)显然他自己意识到了对心智可计算主义的这种反驳说服力不强，这一点可从他不断寻求其他一些反驳方法的努力中看出。
在吉布斯演讲中，哥德尔沿着一条不同的思路往前走。在一个方向上他推敲了上面6.1.1中提出的可能性，即可能存在事实上等价于数学直觉的计算机。
6.1.3 并未排除可能存在一条有穷的规则[计算机]，产生它的所有显明的公理。然而，果然存在这样一条规则的话，我们人类的理智肯定不能知道它原来如此；这就是说，我们不能以数学的确定性知道它产生的所有命题都是正确的；换言之，对任意有穷多个命题，我们只能逐个地知觉它们为真。但是，它们都真这种陈述，至多只能在经验上肯定——或者依据足够多的实例，或者通过其他的归纳推理。[哥德尔在这段话后面附上了本章开头所引的段注释。]
既然每条“有穷的规则”都可以用有穷多条公理和推理规则来刻画，按我们现在所知，我们就有可能确定任意一条有穷规则是不是正确的。在这种情形下，没有一条有穷规则能够完全把握我们的数学直觉——因为假若它能的话，我们也会知道它的一致性，而这超出了这条规则。6.1.3的要点在于：假使有一条等价于我们的数学直觉的有穷规则，那么我们就不会知道它是如此，否则我们也会知道这条有穷规则的一致性，所以它就不会等价于我们的数学直觉。
如果我们深思通过数学家团体的实践揭示出来的数学直觉的特性及其发展，那么我们或许能够更细致地查证，所谓数学直觉在能力上实际等价于(或不等价于)某台计算机，这种可能性究竟有多大。可是有关的现象实在是太复杂、太不确定了，至少我不敢自诩能承担这项骇人的工作。
在吉布斯演讲中，哥德尔还做了一种区分，即主观意义上的数学——所有能推导的命题组成的系统，和客观意义上的数学——所有真数学命题的系统。他可以用这种区分，把6.1.2重新表述成：
6.1.4 或者主观数学在能力上超出所有的计算机，或者客观数学超出主观数学，或者两者都可能真。
哥德尔随即得出了一些权宜的、尚待推敲的结论：
6.1.5 如果第一种可能成立，那么这似乎蕴涵了人心的运作不能归结于人脑的运作，因为人脑在表观上无论怎么看都是一台有穷的机器，只有有穷多的零件，即神经元和它们的联结。
6.1.6 [第二种可能]似乎否证了数学只是我们自己的创造的观点；因为创造者必然知道他的创造物的所有性质，除了他给予它们的，它们无法再有其他的性质。所以，这种可能似乎蕴涵了，数学客体和事实(或至少它们中的某些)独立于我们的心智行为和决断而客观存在，这就是说，某种或他种形式的针对数学客体的柏拉图主义或“实在主义”[成立]。
如果我们接受这两段的推理和论断，那么我们又得到了6.1.5(译者注：似应为6.1.4 或6.1.2)的另一种说法：或者物理主义是假的，或者数学中的柏拉图主义是真的，或者两者都对。实际上，哥德尔吉布斯演讲剩下的篇幅整个在试图论证数学中的柏拉图主义——这个题目，哥德尔与我谈话时讨论甚多，我把它作为第7章的主题。
哥德尔关于创造的本性和定义的思想，和他关于人脑像一台计算机的思想，属于他最喜爱的想法。我们讨论时他曾细细分析这些想法，我会在后面适当的上下文中考虑它们。现在，我仅仅限于考虑哥德尔的那些与他的定理的意蕴直接有关的看法。毫不奇怪，其中一些看法与他的吉布斯演讲并无二致：
6.1.7 不完全性结果并未排除可能存在一台定理证明计算机，它事实上等价于数学直觉。但这些结果蕴涵着，在这种——换了其他的理由则非常不可思议的——情形下，我们或者不知道这台计算机的精确设置，或者不如道它在正确地工作。
6.1.8 我的不完全性定理大致表明，心灵不是机械性的，或者心灵不能理解它自己的机制。如果把我的结果与希尔伯特持有的、未被我的结果否定的理性主义态度合在一起，都么[我们可以推出]心灵不是机械性的这一明确的结果。所以如此，是因为假若心灵是台机器，则会存在人心不可判定的数论问题，而这与理性主义态度相悖。
6.1.9 有一种模糊的想法，说是我们可以找到一组公理，使得
(1)所有这些公理对我们都是显明的；
(2)这组公理能导出全部数学。
我的不完全性定理说明，不可能建立一个满足(1)和(2)的公理系统，因为，根据(1)，表达这个系统的以一致性的陈述对我也应该是显明的。所有这些在我的吉布斯演讲中都说得很清楚。6.1.10 我的定理的另一个结论是两个命题的析取：
(1)数学的显明的公理不能包容在一个有穷的规则之中，因此人心胜过有穷的机器，在这个意义上，数学是不可完全的，或者
(2)对于人心来说，存在绝对不可判定的丢番图问题。我的定理的这个结论，像前一个一样，是非常鲜明的。每种情况都与唯物主义哲学冲突。情况(1)反对把心与脑等同起来。情况(2)否证了数学客体是我们的创造这一观点。
既然哥德尔的结果是形式系统或定理证明计算机不能证明它自己的一致性，那么反驳可计算主义的一个明显的想法，就是去论证心灵可以证明自身的一致性。在Mp里面，我用很长的篇幅考虑这种企图(Mp：317-321)。哥德尔讨论我的手稿的时候，对这条思路提出几种意见。后来，他把它们总括为一句话(Mp：328，注14)：
6.1.11 对于概念、命题、证明等等的概念，在它们最宽泛的意义上，还有一些未解决的内涵悖论，所以，在当今的逻辑发展阶段上，运用这些概念的自反性作出的证明，没有一种能够看成是确有结果的，虽然在满意地解决了那些悖论之后，这种论证可能变得确凿无疑。
所谓内涵悖论肯定包括了关于这种概念的悖论：是一个不能(有意义地)应用于自身的概念。【这个悖论可以这样说明：有些概念似乎能够有意义地应用于自身，如“是抽象的”——“是抽象的”(这个概念)是抽象的，有些则不能，如“是红的”——不能有意义地说，“是红的”是红的。所以有一个概念，即文中所说的“是一个不能(有意义地)应用于身的概念”，它涵盖所有不能(有意义地)应用于自身的概念。但这个概念能应用于自身，当且仅当它不能应用于自身。一译者注】 哥德尔心中其他的例子，我未能知晓。至于一般的(或绝对的)证明概念的例子，可以举出这样一个来：这个命题不可证。【设命题“这个命题不可证”为A。其中“这个命题”即指A本身，因此A表达的是：A不可证。如果A可证，那么A是真的，即“A不可证”是真的，因此，A不可证；反之，如果A不可证，则“A 不可证”是真的，即A是真的，这就证明了A。参见王浩《数理逻辑通俗讲话》，科学出版社，1981年，第18页。——译者注】【老蝉再注：这个命题是一个自成命题，即为真时其为真，没有矛盾产生；为假时，则矛盾，所以，这个命题只能为真。构造：A：A是不可证的。还有一类命题叫自毁命题，如：世界上不存在绝对真理，当其为真时，这个句子本身必须为假；反之，当其假时，没有矛盾产生，所以，这个句子必然是假的。自毁命题和自成命题都是单方向产生矛盾，前者是为真时产出矛盾，后者是为假时产生矛盾。而自指悖论，则是两个方向都产生矛盾，即不管其为真还是为假，都产生矛盾，比如：我在说谎。罗素悖论即为自指悖论。罗素悖论是由：所有不包含自身元素的集合的集合产生的，而所有包含自身元素的集合的集合并不生成罗素悖论，而是一个无穷递归】但我只是在猜测，真希望当初就问个明白。我以前说过，哥德尔把内涵悖论和语义悖论区分开来，认为前者是重要的待解决问题，后者是无关紧要的，并且已经被解决。
6.1.12 如果人们能够用某种方式澄清内涵悖论，那么就可以清楚地证明心灵不是机器。关于证明的一般概念的情形，类似于关于概念的一般概念。两者都属于垮败的领域[隐然指Mp：190的讨论]，因为我们尚未扫清围绕着这些一般概念的那些矛盾。否则就有一个证明：一旦我们理解了证明的一般概念，我们也就获得了心灵对于它自身的一致性的证明。现在的情形是，我们实际上可以从证明的一般概念，包括证明的自我应用中，推导出矛盾。基于我们对证明的一般概念的有缺陷的理解，我们可以潜在地达到这样的结论：显明性干脆就是不一致的。这说明我们的逻辑观念出了毛病，而它们本应是明白无误的。
6.1.13 概念的概念和绝对证明[简称AP]的概念可以相互定义。对于AP来说明明白白的东西，导致了一些与罗素悖论相去不远的矛盾。直觉主义如果加上AP就是不一致的。Ap可能是一个观念[康德意义上的]：可一旦人们可以系统地叙述和证明事情，我们就不再具有一个观念[而是具有一个概念]。[在进一步研究之前]退一步承认Ap或概念的一般概念是一个观念，这是不能令人满意的。纠缠着AP的悖论是内涵的——而不是语义的——悖论。我在普林斯顿200年庆典演讲【重印于哥德尔，1990；以下称cw2150-153]中，曾讨论过AP问题。
6.1.14 有可能找到AP的一个清晰的说明，数学直觉用它可以证明自身的一致性，因而显示自己不同于机器。但是，既然我们并不明白AP，数学直觉的一致性就可能不是一个命题或至少不是那么显明。如果解决了纠缠着AP的悖论，这种[通过证明我们的数学直觉的一致性来反驳可计算主义的] 论证就可能是正确的，因为[对一致性的]证明可能属于保留下来的领城。
6.1.15 布劳威尔反对谈论所有的证明或所有可构造的客体。因此按他的解释，外延的和内涵的悖论在直觉主义里都不出砚。但是我认为把所有排除在外，就像在概念论里诉诸类型论，[从直觉主义的立场来说]是相当随意的。
6.1.16 要是你接受AP作为一个概念的话，马上就会显出我是一致的。在我自己把人心也作为一个概念的使用中，有一个表面的矛盾。需要避免的是以自指的方式使用这个概念。在我们不知道如何来做。但我并不以自指的方式使用人心的概念。
依我之见，哥德尔从6.1.11到6.1.16的看法，在所处的上下文中，其主要之点乃是这样一种思想：如果我们对证明的一般概念有了更好的理解，就可以直接看出，我们能够在数学上证明的东西的全体确实是一致的。果然如此，数学直觉就可以看到并且证明自身的一致性，这一点不同于计算机。哥德尔采取康德关于观念和概念的区分，似乎要说明以我们目前的无知，绝对证明看起来像一个观念，但它借助于进一步的研究也可以变成一个概念。假如我们能够把绝对证明看做一个概念，那么我们就能以系统的方式陈述和证明和它有关的事情。特别地，我们应该能够运用我们改善了的数学直觉去证明它自身的一致性。
下面是哥德尔在一些有关问题上的些许见解。
6.1.17 人们说到心灵的时候，说的并不是一台(任何一般意义上的)机器，而是一台觉察到自身的正确性的机器。
1972年6月，在一个纪念冯·诺伊曼的会议上，哥德尔提出了这个问题：
6.1.18 一台完全知道自己的程序的机器，这样一个想法之中有什么矛盾的东西吗？
6.1.19 人脑是一台与精神相联接的计算机。[比较6.2.14]
6.1.20 机器总是知道理由。我们在提不出证明时，也可以知道或固执地猜想一个陈述。说到自我分析，我们并未察觉我们之内的所有东西；我们对心内的大部分，完全是无意识的。我们懵懂不清，经常左右摇摆。意识是主要的差别所在。
6.1.21 意识与一个统一体相联系。机器则由各部分组成。[比较9.4.13]
6.1.22 主动的理智作用于被动的理智，后者以某种方式掩盖了前者的作为，并且充当一个中介来帮助我们。[比较7.3.14]
比较哥德尔使用人心和数学直觉两个词时，术语上有些纠缠。我倾向于从人类集体经验上来理解，所以曾就用法问题向他请教。他的回答向我提示出一种简约性的理想化：
6.1.23 所谓心灵，我指一种无生命期限的个体心灵。这仍然有别于人类集体心灵。想象一个人致力于解决整个一组问题：这很接近实际人们不断地引进新的公理。
1976年6月5日，哥德尔告诉我一种猜想，他相信，这猜想若是真的，就会证明心灵比计算机优越(RG 197，关于它的叙述有误)：
6.1.24 这会是一个非常有趣的结果：证明最短的判定程序要求很长的时间去判定相对短的命题。具体些讲，有可能证明对于每一个可判定的系统和它的每一个判定程序，存在某个长度短于200的命题，它的最短的证明长于10^20。这样的结果实际上意味着计算机不能够取代人心，人心可以给出新的想法，作出简短的证明。【老蝉注：阿尔法狗的两个算法似乎解决了这个问题，但不尽然哦，为什么？】
未完，敬请期待
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